수직인 두 접선

두 점 $\mathrm{P} , Q$에서 포물선 $y = ( x - a ) ^{2} + b$에 그은 접선의 기울기는 각각 $y' _{x = s + a} = 2 s$, $y' _{x = t + a} = 2 t$이므로

서로 수직이려면$2 s \cdot 2 t = 4 st = - 1$이다. $\displaystyle \therefore st = - \frac{1}{4}$ 따라서 $s$가 증가하면 $t$도 증가한다. 그리고 $a , b$의 값에 관계없이 넓이 $A$는 변하지 않는다. [별해] $y = ( x - a ) ^{2} + b$ 위의 두 점 $P ( s + a , s ^{2} + b )$와 $Q ( t + a , t ^{2} + b )$를 점 $( a , b )$가 원점에 오도록 평행이동을 시켜도 같은 구조가 되며, 넓이 $A$도 변하지 않으므로 ([그림 1], [그림 2] 참조)

[그림1]

[그림2]

포물선 $y = x ^{2}$과 두 점 $P' ( s , s ^{2} ) , Q' ( t , t ^{2} )$에서 생각하면 된다. 따라서 $a , b$가 변하면 $A$도 변한다는 (ㄴ), (ㄷ)은 옳지 않다. 또, $s$가 증가하면, 두 접선이 수직이므로 $t$도 증가하게 되므로 (ㄱ)만 옳은 답이다.