수직이등분선 최솟값

[출제의도] 미분법을 이용하여 최솟값 문제를 해결한다.

선분 $\mathrm{AP}$의 중점을 $\mathrm{M}$, $\angle \mathrm{BAP} = \mathit{\theta}$$\displaystyle \left( 0 < \theta \leq \frac{\pi}{3} \right)$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \frac{2}{\cos \theta}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{A} P} = \frac{1}{\cos \theta}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} = \frac{\overline{\mathrm{AM}}}{\cos \theta} = \frac{1}{\cos ^{2} \theta}$ 삼각형 $\mathrm{AQR}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}}$$\perp$$\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$이므로 $\angle \mathrm{ARQ} = \mathit{\theta}$ ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = \frac{\overline{\mathrm{AQ}}}{\sin \theta} = \frac{1}{\cos ^{2} \theta \sin \theta}$$\displaystyle = \frac{1}{\sin \theta - \sin ^{3} \theta}$ $\sin \theta = t$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = \frac{1}{t - t ^{3}}$ $f ( t ) =$$t - t ^{3}$$\displaystyle \left( 0 < t \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$이라 하자. $f' ( t ) = 1 - 3 t ^{2} = 0$에서 $\displaystyle t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 또는 $\displaystyle t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ $f ( t )$는 $\displaystyle t = \frac{\sqrt{3}}{3}$일 때, 최댓값 $\displaystyle f \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$을 가진다. $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = \frac{1}{f ( t )} \geq \frac{1}{f \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ∴ $\displaystyle 4 k ^{2} = 4 \times \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right) ^{2} = 27$ [다른 풀이] $\displaystyle \overline{\mathrm{A} Q} = x$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} Q} = \overline{\mathrm{Q} P}$$= x$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} P} = \sqrt{x ^{2} - \left( 2 - x \right) ^{2}} = \sqrt{4 x - 4}$$\displaystyle = 2 \sqrt{x - 1}$ ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{A} P} = \sqrt{2 ^{2} + ( 4 x - 4 )} = 2 \sqrt{x}$ 두 직각삼각형 $\mathrm{A} BP$, $\mathrm{R} AQ$는 서로 닮은 도형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} : \overline{\mathrm{QR}} = \overline{\mathrm{BP}} : \overline{\mathrm{PA}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = \frac{\overline{\mathrm{AQ}} \cdot \overline{\mathrm{PA}}}{\overline{\mathrm{BP}}} = \frac{2 x \sqrt{x}}{2 \sqrt{x - 1}}$$\displaystyle = \frac{x \sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} ^{2} = f ( x )$라 하면 $\displaystyle f ( x ) = \frac{x ^{3}}{x - 1}$ (단, $1 < x \leq 4$) $\displaystyle f' ( x ) = \frac{3 x ^{2} ( x - 1 ) - x ^{3}}{( x - 1 ) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{x ^{2} ( 2 x - 3 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ 함수 $f ( x )$의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

∴ $\displaystyle 4 k ^{2} = 4 f \left( \frac{3}{2} \right) = 27$