대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수직 선분과 등차수열

문제

그림과 같이 좌표축 위의 다섯 개의 점 A,B,C,D,E\mathrm{A} , B , C , D , E에 대하여 AB‾⊥BC‾,BC‾⊥CD‾,CD‾⊥DE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \perp \overline{BC} , \overline{BC} \perp \overline{CD} , \overline{CD} \perp \overline{DE}가 성립한다. 세 선분 AO,OC,EA\mathrm{AO} , {OC} , {EA}의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 AB\mathrm{AB}의 기울기는? (단, O\mathrm{O}는 원점이고 OA‾<OB‾\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} < \overline{OB}이다.) [4점]

①2\displaystyle \sqrt{2}②3\displaystyle \sqrt{3}③22④5\displaystyle \sqrt{5}⑤6\displaystyle \sqrt{6}

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①

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해설

점 A\mathrm{A}의 좌표를 (−1,0)( - 1 , 0 )이라 놓고 풀어도 일반성을 잃지 않는다. 직선 AB\mathrm{AB}의 기울기를 mm이라 하면, 점B\mathrm{B}의 좌표는 (0,m)( 0 , m ), 점 C\mathrm{C}의 좌표는 (m2,0)( m ^{2} , 0 ), 점 D\mathrm{D}의 좌표는 (0,−m3)( 0 , - m ^{3} ), 점 E\mathrm{E}의 좌표는 (−m4,0)( - m ^{4} , 0 )이다. 그런데 AO‾,OC‾,EA‾\displaystyle \mathrm{\overline{AO}} , \overline{OC} , \overline{EA}가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 2OC‾=AO‾+EA‾\displaystyle \mathrm{2} \overline{OC} = \overline{AO} + \overline{EA} 즉, 2m2=1+(m4−1)2 m ^{2} = 1 + ( m ^{4} - 1 ) 따라서 m4=2m2m ^{4} = 2 m ^{2}에서 m>0m > 0이므로 m=2\displaystyle m = \sqrt{2}

태그

#등차수열#좌표

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