수직 직선 교점

한 평면 위에 다음과 같은 규칙으로 직선들을 차례로 그려 나간다.

[$1$단계] : 직선을 $1$개 그린다. [$2$단계] : [$1$단계]에서 그린 직선과 수직인 직선을 $2$개 그린다. [$3$단계] : [$2$단계]에서 그린 직선과 수직인 직선을 $3$개 그린다. $\vdots$ [$n$단계] : [$( n - 1 )$단계]에서 그린 직선과 수직인 직선을 $n$개 그린다. ($n = 2 , 3 , 4 , \cdots$)

[$1$단계]부터 [$n$단계]까지 그린 직선들의 모든 교점의 개수를 $a _{n}$ ($n = 2 , 3 , 4 , \cdots$)이라 하자. 예를 들어, $a _{2} = 2$, $a _{3} = 8$이다. $a _{15} - a _{14}$의 값을 구하시오. (단, 모든 직선은 서로 겹치지 않도록 그린다.) [4점]