수직 접선 정점 빈칸

서로 다른 두 점에서 만나는 두 곡선 $C _{1} : y = x ^{2} - 2 x + 2$, $C _{2} : y = - x ^{2} + ax + b$ 의 한 교점을 $\mathrm{P}$라 하고, 점 $\mathrm{P}$에서 두 곡선 $C _{1}$, $C _{2}$에 접하는 직선을 각각 $l$, $m$이라 하자. 두 접선 $l$, $m$이 서로 수직일 때, 곡선 $C _{2}$는 두 실수 $a$, $b$의 값에 관계없이 일정한 점 $\mathrm{Q}$를 지난다. 다음은 점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 구하는 과정이다.

$f \left( x \right) = x ^{2} - 2 x + 2$, $g \left( x \right) = - x ^{2} + ax + b$라 하고, 두 곡선 $C _{1}$, $C _{2}$의 한 교점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $t$라 하자. 두 접선 $l$, $m$이 서로 수직이므로 $f' \left( t \right) g' \left( t \right) = - 1$에서 $4 t ^{2} - 2 \left( a + 2 \right) t + {\square {( \text{가} )}} = 0$ $\cdots \cdots$㉠ $f \left( t \right) = g \left( t \right)$에서 $2 t ^{2} - \left( a + 2 \right) t + 2 - b = 0$ $\cdots \cdots$㉡ ㉠, ㉡에서 $b = {\square {( \text{나} )}} - a$를 $y = - x ^{2} + ax + b$에 대입하고 $a$에 관하여 정리하면, $a \left( x - 1 \right) - x ^{2} - y + {\square {( \text{나} )}} = 0$ $\cdots \cdots$㉢ ㉢에서 $x - 1 = 0$, $- x ^{2} - y + {\square {( \text{나} )}} = 0$을 만족시키는 $x$와 $y$의 값을 구하면 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\left( \mathit{1} , \square {( \text{다} )} \right)$이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 $h \left( a \right)$라 하고, (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $h ( \alpha ) \times h ( \beta )$의 값은? [4점] ①$4$②$8$③$12$④$16$⑤$20$