대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수학적 귀납법 증명

문제

일반항이 an=n2a _{n} = n ^{2}인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. 다음은 모든 자연수 nn에 대하여 (n+1)Sn−∑k=1nSk=∑k=1nk3\displaystyle ( n + 1 ) S _{n} - \sum\limits _{k = 1} ^{n} S _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{3} ⋯⋯(∗)\cdots \cdots ( * ) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(i) n=1n = 1일 때, (좌변)=2S1−S1=1= 2 S _{1} - S _{1} = 1, (우변)=1= 1이므로 (＊)이 성립한다. (ii) n=mn = m일 때 (＊)이 성립한다고 가정하면 (m+1)Sm−∑k=1mSk=∑k=1mk3\displaystyle ( m + 1 ) S _{m} - \sum\limits _{k = 1} ^{m} S _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{m} k ^{3}이다. n=m+1n = m + 1일 때 (＊)이 성립함을 보이자. (m+2)Sm+1−∑k=1m+1Sk\displaystyle ( m + 2 ) S _{m + 1} - \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} S _{k} =□(가)Sm+1−∑k=1mSk\displaystyle = {\square {( \text{가} )}} S _{m + 1} - \sum\limits _{k = 1} ^{m} S _{k} =□(가)Sm+= {\square {( \text{가} )}} S _{m} + □(나){\square {( \text{나} )}}−∑k=1mSk\displaystyle - \sum\limits _{k = 1} ^{m} S _{k} =∑k=1m+1k3\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k ^{3}이다. 따라서 n=m+1n = m + 1일 때도 (＊)이 성립한다. (i), (ii)에 의하여 주어진 식은 모든 자연수 nn에 대하여 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(m)f ( m ), g(m)g ( m )이라 할 때, f(2)+g(1)f ( 2 ) + g ( 1 )의 값은? [4점] ①77②88③99④1010⑤1111

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⑤

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해설

[출제의도] 수학적 귀납법을 활용하여 추론하기 일반항이 an=n2a _{n} = n ^{2}인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. 다음은 모든 자연수 nn에 대하여 (n+1)Sn−∑k=1nSk=∑k=1nk3\displaystyle ( n + 1 ) S _{n} - \sum\limits _{k = 1} ^{n} S _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{3} ⋯⋯(∗)\cdots \cdots ( * ) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(i) n=1n = 1일 때, (좌변)=2S1−S1=1= 2 S _{1} - S _{1} = 1, (우변)=1= 1이므로 (＊)이 성립한다. (ii) n=mn = m일 때 (＊)이 성립한다고 가정하면 (m+1)Sm−∑k=1mSk=∑k=1mk3\displaystyle ( m + 1 ) S _{m} - \sum\limits _{k = 1} ^{m} S _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{m} k ^{3}이다. n=m+1n = m + 1일 때 (＊)이 성립함을 보이자. (m+2)Sm+1−∑k=1m+1Sk\displaystyle ( m + 2 ) S _{m + 1} - \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} S _{k} =(m+2)Sm+1−(∑k=1mSk+Sm+1)\displaystyle = \left( m + 2 \right) S _{m + 1} - \left( \sum\limits _{k = 1} ^{m} S _{k} + S _{m + 1} \right) =□(m+1)Sm+1−∑k=1mSk\displaystyle = {\square {( m + 1 )}} S _{m + 1} - \sum\limits _{k = 1} ^{m} S _{k} =(m+1)(Sm+am+1)−∑k=1mSk\displaystyle = \left( m + 1 \right) \left( S _{m} + a _{m + 1} \right) - \sum\limits _{k = 1} ^{m} S _{k} =□(m+1)Sm+= {\square {( m + 1 )}} S _{m} + □(m+1)3{\square {( m + 1 ) ^{3}}}−∑k=1mSk\displaystyle - \sum\limits _{k = 1} ^{m} S _{k} =∑k=1mk3+(m+1)3\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} k ^{3} + \left( m + 1 \right) ^{3} =∑k=1m+1k3\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k ^{3}이다. 따라서 n=m+1n = m + 1일 때도 (＊)이 성립한다. (i), (ii)에 의하여 주어진 식은 모든 자연수 nn에 대하여 성립한다.

f(m)=m+1f ( m ) = m + 1, g(m)=(m+1)3g ( m ) = ( m + 1 ) ^{3} f(2)+g(1)=11f ( 2 ) + g ( 1 ) = 11

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