수학적 귀납법 증명

[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 수열의 일반항을 추론한다. (ⅰ) $n = 1$일 때, (좌변)$= a _{1} = 1$, (우변)$= 1 \times 1 = 1$ 따라서 ㉡이 성립한다. (ⅱ) $n = k$일 때, ㉡이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle a _{k} = \left( 1 + 2 + 3 + \cdots + k \right) \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} \right)$이다. ㉠에서 $\displaystyle \frac{a _{k+1}}{k + 2} = \frac{a _{k}}{k} + \frac{1}{2}$이므로 이 등식의 양변에 $k + 2$를 곱하면 $a _{k + 1}$$\displaystyle = {\square {\frac{k + 2}{k}}} a _{k} + \frac{k + 2}{2}$ $\displaystyle = {\square {\frac{k + 2}{k}} \left( 1 + 2 + 3 + \cdots + k \right) \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} \right)}$$\displaystyle + \frac{k + 2}{2}$ $\displaystyle = \frac{k + 2}{k} \times \frac{k ( k + 1 )}{2} \times \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} \right) + \frac{k + 2}{2}$ $\displaystyle = {\square {\frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}}} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} \right) + \frac{k + 2}{2}$ $\displaystyle = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} \right) + \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2 ( k + 1 )}$ $\displaystyle = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2} \left\{ \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} \right) + \frac{1}{k + 1} \right\}$ $\displaystyle = \left\{ 1 + 2 + 3 + \cdots + ( k + 1 ) \right\} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k + 1} \right)$ 따라서 $n = k + 1$일 때도 ㉡이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 ㉡이 성립한다. $\displaystyle f ( k ) = \frac{k + 2}{k}$, $\displaystyle g ( k ) = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}$이므로 $\displaystyle f ( 10 ) \times g ( 9 ) = \frac{12}{10} \times \frac{10 \times 1 1}{2} = 66$