대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수학적 귀납법 증명

문제

다음은 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 일반항 ana _{n}이 an=pn+qa _{n} = pn + q일 때, 모든 자연수 nn에 대하여 na1+(n−1)a2+(n−2)a3+⋯+anna _{1} + ( n - 1 ) a _{2} + ( n - 2 ) a _{3} + \cdots + a _{n} =16n(n+1)(pn+2p+3q)\displaystyle = \frac{1}{6} n ( n + 1 ) ( pn + 2 p + 3 q ) 임을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명] ⅰ) n=1n = 1일 때, (좌변)==(우변)==□(가){\square {( \text{가} )}}이므로 성립한다. ⅱ) n=kn = k일 때 성립한다고 가정하면 ka1+(k−1)a2+(k−2)a3+⋯+akka _{1} + ( k - 1 ) a _{2} + ( k - 2 ) a _{3} + \cdots + a _{k} =16k(k+1)(pk+2p+3q)\displaystyle = \frac{1}{6} k ( k + 1 ) ( pk + 2 p + 3 q ) 이 식의 양변에 □(나){\square {( \text{나} )}}를 더하면 ka1+(k−1)a2+(k−2)a3+⋯+ak+□(나)ka _{1} + ( k - 1 ) a _{2} + ( k - 2 ) a _{3} + \cdots + a _{k} + {\square {( \text{나} )}} =16k(k+1)(pk+2p+3q)+□(나)\displaystyle = \frac{1}{6} k ( k + 1 ) ( pk + 2 p + 3 q ) + {\square {( \text{나} )}} =16(k+1){pk2+(5p+3q)k+□(다)}\displaystyle = \frac{1}{6} ( k + 1 ) \left\{ pk ^{2} + ( 5 p + 3 q ) k + {\square {( \text{다} )}} \right\} =16(k+1)(k+2){p(k+1)+2p+3q}\displaystyle = \frac{1}{6} ( k + 1 ) ( k + 2 ) \left\{ p ( k + 1 ) + 2 p + 3 q \right\} 그러므로 n=k+1n = k + 1일 때도 성립한다. ⅰ), ⅱ)에 의해서 주어진 등식은 모든 자연수 nn에 대하여 성립한다.

이 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
①pqpqa1+a2+⋯+aka _{1} + a _{2} + \cdots + a _{k}3(p+q)3 ( p + q )
②pqpqa1+a2+⋯+aka _{1} + a _{2} + \cdots + a _{k}4(p+q)4 ( p + q )
③p+qp + qa1+a2+⋯+aka _{1} + a _{2} + \cdots + a _{k}6(p+q)6 ( p + q )
④p+qp + qa1+a2+⋯+ak+1a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{k + 1}4(p+q)4 ( p + q )
⑤p+qp + qa1+a2+⋯+ak+1a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{k + 1}6(p+q)6 ( p + q )
정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 수학적귀납법으로 명제 증명하기 (가) (나) a1+a2+⋯+ak+1a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{k+1}

(다) 6(p+q)6 ( p + q )

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