대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수학적 귀납법 증명

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 {a1=12(n+1)(n+2)an+1=n2an(n=1,2,3,⋯ )\displaystyle {\begin{cases} a _{1} = \frac{1}{2} & \\ ( n + 1 ) ( n + 2 ) a _{n + 1} = n ^{2} a _{n} & ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \end{cases}} 일 때, 다음은 모든 자연수 nn에 대하여 ∑k=1nak=∑k=1n1k2−nn+1⋯⋯(∗)\displaystyle \sum\limits _{k = 1 ^{}} ^{n _{}} a _{k} = \sum\limits _{k = 1 ^{}} ^{n _{}} \frac{1 _{}}{k ^{2}} - \frac{n _{}}{n + 1} \cdots \cdots ( * ) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[ 증 명 ]
(1) n=1n = 1일 때, (좌변)=12\displaystyle = \frac{1}{2}, (우변)=1−12=12\displaystyle = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}이므로 (*)이 성립한다. (2) n=mn = m일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 ∑k=1mak=∑k=1m1k2−mm+1\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1}이다. n=m+1n = m + 1일 때, (*)이 성립함을 보이자. ∑k=1m+1ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} a _{k}=∑k=1m1k2−mm+1+am+1\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1} + a _{m + 1} =∑k=1m1k2−mm+1+□(가)am\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1} + \square {\text{(가)}} a _{m} =∑k=1m1k2−mm+1\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1} +m2(m+1)(m+2)⋅(m−1)2m(m+1)⋅⋯⋅122⋅3a1\displaystyle + \frac{m _{} ^{2}}{( m + 1 ) ( m + 2 )} \cdot \frac{( m - 1 ) _{} ^{2}}{m ( m + 1 )} \cdot \cdots \cdot \frac{1 _{} ^{2}}{2 \cdot 3} a _{1} =∑k=1m1k2−mm+1+□(나)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1} + \square {\text{(나)}} =∑k=1m1k2−mm+1+1(m+1)2−□(다)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1} + \frac{1}{( m + 1 ) ^{2}} - \square {\text{(다)}} =∑k=1m+11k2−m+1m+2\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m + 1}{m + 2} 그러므로 n=m+1n = m + 1일 때도 (*)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 nn에 대하여 (*)이 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①m(m+1)(m+2)\displaystyle \frac{m}{( m + 1 ) ( m + 2 )} 1(m+1)2(m+2)\displaystyle \frac{1}{( m + 1 ) ^{2} ( m + 2 )} 1(m+1)(m+2)2\displaystyle \frac{1}{( m + 1 ) ( m + 2 ) ^{2}}②m(m+1)(m+2)\displaystyle \frac{m}{( m + 1 ) ( m + 2 )} m(m+1)2(m+2)\displaystyle \frac{m}{( m + 1 ) ^{2} ( m + 2 )} 1(m+1)(m+2)\displaystyle \frac{1}{( m + 1 ) ( m + 2 )}③m2(m+1)(m+2)\displaystyle \frac{m ^{2}}{( m + 1 ) ( m + 2 )} 1(m+1)2(m+2)\displaystyle \frac{1}{( m + 1 ) ^{2} ( m + 2 )} 1(m+1)(m+2)2\displaystyle \frac{1}{( m + 1 ) ( m + 2 ) ^{2}}④m2(m+1)(m+2)\displaystyle \frac{m ^{2}}{( m + 1 ) ( m + 2 )} 1(m+1)2(m+2)\displaystyle \frac{1}{( m + 1 ) ^{2} ( m + 2 )} 1(m+1)(m+2)\displaystyle \frac{1}{( m + 1 ) ( m + 2 )}⑤m2(m+1)(m+2)\displaystyle \frac{m ^{2}}{( m + 1 ) ( m + 2 )} m(m+1)2(m+2)\displaystyle \frac{m}{( m + 1 ) ^{2} ( m + 2 )} 1(m+1)(m+2)2\displaystyle \frac{1}{( m + 1 ) ( m + 2 ) ^{2}}

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④

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해설

(1) n=1n = 1일 때, (좌변)=12\displaystyle = \frac{1}{2}, (우변)=1−12=12\displaystyle = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}이므로 (*)이 성립한다. (2) n=mn = m일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 ∑k=1mak=∑k=1m1k2−mm+1\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{m} a _{k} = \sum\limits _{k=1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1}이다. n=m+1n = m + 1일 때, (*)이 성립함을 보이자. 수열 [an}\left[ a _{n} \right\}의 정의에 의해 am+1=m2(m+1)(m+2)am\displaystyle a _{m+1} = \frac{m ^{2}}{( m + 1 ) ( m + 2 )} a _{m}이므로 ∑k=1m+1ak=∑k=1m1k2−mm+1+am+1\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{m+1} a _{k} = \sum\limits _{k=1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1} + a _{m+1} =∑k=1m1k2−mm+1+□m2(m+1)(m+2)am\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1} + \square {\frac{m ^{2}}{( m + 1 ) ( m + 2 )}} a _{m} =∑k=1m1k2−mm+1\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1}+m2(m+1)(m+2)⋅(m−1)2m(m+1)⋅⋯⋅122⋅3a1\displaystyle + \frac{m ^{2}}{( m + 1 ) ( m + 2 )} \cdot \frac{( m - 1 ) ^{2}}{m ( m + 1 )} \cdot \cdots \cdot \frac{1 ^{2}}{2 \cdot 3} a _{1} =∑k=1m1k2−mm+1\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1}+m2(m+1)(m+2)⋅(m−1)2m(m+1)⋅⋯⋅122⋅3⋅12\displaystyle + \frac{m ^{2}}{( m + 1 ) ( m + 2 )} \cdot \frac{( m - 1 ) ^{2}}{m ( m + 1 )} \cdot \cdots \cdot \frac{1 ^{2}}{2 \cdot 3} \cdot \frac{1}{2} =∑k=1m1k2−mm+1+□1(m+1)2(m+2)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1} + \square {\frac{1}{( m + 1 ) ^{2} ( m + 2 )}} =∑k=1m1k2−mm+1+1(m+1)2−□1(m+1)(m+2)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m}{m + 1} + \frac{1}{( m + 1 ) ^{2}} - \square {\frac{1}{( m + 1 ) ( m + 2 )}} =∑k=1m+11k2−{mm+1+1(m+1)(m+2)}\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{m+1} \frac{1}{k ^{2}} - \left\{ \frac{m}{m + 1} + \frac{1}{( m + 1 ) ( m + 2 )} \right\} =∑k=1m+11k2−(m+1)2(m+1)(m+2)\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{m+1} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{( m + 1 ) ^{2}}{( m + 1 ) ( m + 2 )} =∑k=1m+11k2−m+1m+2\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{m+1} \frac{1}{k ^{2}} - \frac{m + 1}{m + 2} 그러므로 n=m+1n = m + 1일 때에도 (*)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 nn에 대하여 (*)이 성립한다.

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