대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수학적 귀납법 이항계수

문제

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 등식 $\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{n} \frac{{} _{n} \mathrm{C} \mathit{_{k}}}{{} _{n + 4} \mathrm{C} \mathit{_{k}}} = \frac{n + 5}{5}$ 가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

	[ 보 기 ]

(1) $n = 1$ 일 때, (좌변)= $\displaystyle \frac{{} _{1} {\mathrm{C}} _{0}}{{} _{5} {\mathrm{C}} _{0}} + \frac{{} _{1} {\mathrm{C}} _{1}}{{} _{5} {\mathrm{C}} _{1}} = \frac{6}{5}$ , (우변) $\displaystyle = \frac{1 + 5}{5} = \frac{6}{5}$ 이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) $n = m$ 일 때, 등식 $\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{m} \frac{{} _{m} {\mathrm{C}} _{k}}{{} _{m+4} {\mathrm{C}} _{k}} = \frac{m + 5}{5}$ 가 성립한다고 가정하자. $n = m + 1$ 일 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{m + 1} \frac{{} _{m+1} {\mathrm{C}} _{k}}{{} _{m+5} {\mathrm{C}} _{k}} =$ $\displaystyle \square {\text{(가)}} + \sum\limits _{k = 0} ^{m} \frac{{} _{m + 1} \mathrm{C} \mathit{_{k + 1}}}{{} _{m + 5} \mathrm{C} \mathit{_{k + 1}}}$ 이다. 자연수 $l$ 에 대하여 ${} _{l+1} {\mathrm{C}} _{k+1} =$ $\square {\text{(나)}} \cdot {} _{l} {\mathrm{C}} _{k} ( 0 \leq k \leq l )$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{m} \frac{{} _{m+1} {\mathrm{C}} _{k+1}}{{} _{m+5} {\mathrm{C}} _{k+1}} =$ $\displaystyle {\square {\text{(다)}}} \cdot \sum\limits _{k = 0} ^{m} \frac{{} _{m} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}}}{{} _{m + 4} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 0} ^{m + 1} \frac{{} _{m+1} {\mathrm{C}} _{k}}{{} _{m+5} {\mathrm{C}} _{k}} =$ $\displaystyle {\square {\text{(가)}}} + {\square {\text{(다)}}} \cdot \sum\limits _{k = 0} ^{m} \frac{{} _{m} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}}}{{} _{m + 4} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}}}$ $\displaystyle = \frac{m + 6}{5}$ 이다. 그러므로 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ① $1$ $\displaystyle \frac{l + 2}{k + 2}$ $\displaystyle \frac{m + 1}{m + 4}$ ② $1$ $\displaystyle \frac{l + 1}{k + 1}$ $\displaystyle \frac{m + 1}{m + 5}$ ③ $1$ $\displaystyle \frac{l + 1}{k + 1}$ $\displaystyle \frac{m + 1}{m + 4}$ ④ $m + 1$ $\displaystyle \frac{l + 1}{k + 1}$ $\displaystyle \frac{m + 1}{m + 5}$ ⑤ $m + 1$ $\displaystyle \frac{l + 2}{k + 2}$ $\displaystyle \frac{m + 1}{m + 4}$

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②

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해설

$\displaystyle \sum\limits _{k=0} ^{m+1} \frac{{}_{m+1} {\mathrm{C}} _{k}}{{}_{m+5} {\mathrm{C}} _{k}} = \frac{{}_{m+1} {\mathrm{C}} _{0}}{{}_{m+5} {\mathrm{C}} _{0}} + \sum\limits _{k=1} ^{m+1} \frac{{}_{m+1} {\mathrm{C}} _{k}}{{}_{m+5} {\mathrm{C}} _{k}}$ $\displaystyle = 1 + \sum\limits _{k=0} ^{m} \frac{{}_{m+1} {\mathrm{C}} _{k+1}}{{}_{m+5} {\mathrm{C}} _{k+1}}$ 따라서 (가)에 들어갈 수는 $1$ 이다. $\displaystyle {}_{l+1} {\mathrm{C}} _{k+1} = \frac{( l + 1 ) !}{( k + 1 ) ! \times ( l - k ) !}$ $\displaystyle = \frac{l + 1}{k + 1} \times \frac{l !}{k ! \times ( l - k ) !}$ $\displaystyle = \frac{l + 1}{k + 1} \times _{l} {\mathrm{C}} _{k}$ 따라서 (나)에 들어갈 식은 $\displaystyle \frac{l + 1}{k + 1}$ 이다. $\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k = 0} ^{m + 1} \frac{{}_{m + 1} {\mathrm{C}} \mathit{_{k}}}{{}_{m + 5} {\mathrm{C}} \mathit{_{k}}} & = 1 + \sum\limits _{k = 0} ^{m} \frac{{}_{m + 1} {\mathrm{C}} \mathit{_{k + 1}}}{{}_{m + 5} {\mathrm{C}} \mathit{_{k + 1}}} \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} = 1 + \sum\limits _{k = 0} ^{m} \frac{\frac{m + 1}{k + 1} \times _{m} {\mathrm{C}} \mathit{_{k}}}{\frac{m + 5}{k + 1} \times _{m + 4} {\mathrm{C}} \mathit{_{k}}} \\ \end{aligned}$ $\displaystyle = 1 + \frac{m + 1}{m + 5} \times \sum\limits _{k=0} ^{m} \frac{{}_{m} {\mathrm{C}} _{k}}{{}_{m+4} {\mathrm{C}} _{k}}$ $\displaystyle = 1 + \frac{m + 1}{m + 5} \times \frac{m + 5}{5} = \frac{m + 6}{5}$ 따라서 (다)에 들어갈 식은 $\displaystyle \frac{m + 1}{m + 5}$ 이다.

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