수학적 귀납법 부등식 증명

[출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. 자연수 $n ( n \geq 3 )$에 대하여 $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{i = 1} ^{n - 1} \frac{n}{( n - i ) 2 ^{i - 1}}$ 이라 하자. (1) $n = 3$일 때, $S _{3} = 3 < 4$이므로 성립한다. (2) $n = k ( k \geq 3 )$일 때, $S _{k} < 4$가 성립한다고 가정하자. $n = k + 1$일 때, $\displaystyle S _{k + 1} = \sum\limits _{i = 1} ^{k} \frac{k + 1}{k + 1 - i} \times \frac{1}{2 ^{i - 1}}$ $\displaystyle = \frac{k + 1}{k} + \frac{k + 1}{k - 1} \times \frac{1}{2} + \frac{k + 1}{k - 2} \times \frac{1}{2 ^{2}} + \cdots + \frac{k + 1}{2 ^{k - 1}}$ $\displaystyle = \frac{k + 1}{k} + \frac{1}{2} \left( \frac{k}{k - 1} + \frac{k}{k - 2} \times \frac{1}{2} + \cdots + \frac{k}{2 ^{k - 2}} \right)$ $\displaystyle + \frac{1}{2 k} \times \left( \frac{k}{k - 1} + \frac{k}{k - 2} \times \frac{1}{2} + \cdots + \frac{k}{2 ^{k - 2}} \right)$ $\displaystyle = 1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{2} S _{k} + \frac{1}{2 k} S _{k} = 1 + \frac{1}{k} + \frac{k + 1}{2 k} S _{k}$ 그런데, $k \geq 3 , S _{k} < 4$ 이므로 $\displaystyle S _{k + 1} = 1 + \frac{1}{k} + \frac{k + 1}{2 k} \times S _{k} < 4$ 이다. 그러므로 (1),(2)에 의하여 $3$이상의 자연수 $n$에 대하여 주어진 부등식이 성립한다. 따라서, $\displaystyle f \left( k \right) = \frac{1}{2 k} + \frac{k + 1}{2 k} = \frac{k + 2}{2 k}$이므로 $\displaystyle f \left( 3 \right) = \frac{5}{6}$이다.