수학적 귀납법 빈칸

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \frac{4}{3 ^{}} + \frac{8}{3 ^{2}} + \frac{12}{3 ^{3}} + \cdots + \frac{4 n}{3 ^{n}} = 3 - \frac{2 n + 3}{3 ^{n}}$ $\cdots \cdots$(*) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (1) $n = 1$일 때, (좌변)$\displaystyle = \frac{4}{3}$, (우변)$\displaystyle = 3 - \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$이므로 (*)이 성립한다. (2) $n = k$일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \frac{4}{3 ^{}} + \frac{8}{3 ^{2}} + \frac{12}{3 ^{3}} + \cdots + \frac{4 k}{3 ^{k}} = 3 - \frac{2 k + 3}{3 ^{k}}$ 이다. 위 등식의 양변에 $\displaystyle \frac{4 \left( k + 1 \right)}{3 ^{k + 1}}$을 더하여 정리하면 $\displaystyle \left. \frac{4}{3 ^{}} + \frac{8}{3 ^{2}} + \frac{12}{3 ^{3}} + \cdots + \frac{4 k}{3 ^{k}} + \frac{4 \left( k + 1 \right)}{3 ^{k + 1}} \right.$ $\displaystyle \left. = 3 - \frac{1}{3 ^{k}} \left\{ ( 2 k + 3 ) - ( {\square {( \text{가} ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}} ) \right\} \right.$ $\displaystyle = 3 - \frac{{\square {( \text{나} ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}{3 ^{k + 1}}$ 따라서 $n = k + 1$일 때도 (*)이 성립한다. (1), (2)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f \left( k \right)$, $g \left( k \right)$라 할 때, $f \left( 3 \right) \times g \left( 2 \right)$의 값은? [4점] ①$36$②$39$③$42$④$45$⑤$48$