수학적 귀납법 빈칸

[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 등식을 증명한다. 수학적 귀납법에 의한 증명이므로 $n = 1$일 때 성립함을 증명하고 $n = m$일 때 성립함을 가정하여 $n = m + 1$일 때도 성립함을 증명한다. 문제에서 $n = m$일 때 (*)이 성립한다고 가정하였으므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} \left( - 1 \right) ^{k + 1} k ^{2} = \left( - 1 \right) ^{m + 1} \cdot \frac{m \left( m + 1 \right)}{2}$ … ㉠ 또, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \left( - 1 \right) ^{k + 1} k ^{2}$은 $k = 1$부터 $k = m + 1$까지 $\left( - 1 \right) ^{k + 1} k ^{2}$의 합이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} \left( - 1 \right) ^{k + 1} k ^{2}$에 $\left( - 1 \right) ^{m + 2} ( m + 1 ) ^{2}$을 합한 것과 같다. 즉, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \left( - 1 \right) ^{k + 1} k ^{2} = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \left( - 1 \right) ^{k + 1} k ^{2} + \left( - 1 \right) ^{m + 2} ( m + 1 ) ^{2}$ 그러므로 ${\square {( \text{가} )}}$는 $\left( - 1 \right) ^{m + 2} ( m + 1 ) ^{2}$이다. 또, 등식 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} \left( - 1 \right) ^{k + 1} k ^{2} + {\square {( \text{가} )}}$$= {\square {( \text{나} )}} + {\square {( \text{가} )}}$와 ㉠에서 ${\square {( \text{나} )}}$는 $\displaystyle \left( - 1 \right) ^{m + 1} \cdot \frac{m \left( m + 1 \right)}{2}$ 그러므로 $f ( m )$$= \left( - 1 \right) ^{m + 2} ( m + 1 ) ^{2}$, $g ( m )$$\displaystyle = \left( - 1 \right) ^{m + 1} \cdot \frac{m \left( m + 1 \right)}{2}$이므로 $f ( 5 )$$= \left( - 1 \right) ^{5 + 2} ( 5 + 1 ) ^{2}$$= - 36$ $g ( 2 )$$\displaystyle = \left( - 1 \right) ^{2 + 1} \cdot \frac{2 \left( 2 + 1 \right)}{2}$$= - 3$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{f ( 5 )}{g ( 2 )}$$\displaystyle = \frac{- 36}{- 3}$$= 12$