대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수학적 귀납법 빈칸

문제

다음은 자연수 nn에 대하여 등식 ∑i=12n−1{i+(n−1)2}=(n−1)3+n3\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{2 n - 1} \left\{ i + \left( n - 1 \right) ^{2} \right\} = \left( n - 1 \right) ^{3} + n ^{3} ⋯⋯\cdots \cdots(*) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (1) n=1n = 1일 때, 1+02=03+131 + 0 ^{2} = 0 ^{3} + 1 ^{3} 이므로 (*)이 성립한다. (2) n=kn = k일 때, (*)이 성립한다고 가정하고, n=k+1n = k + 1일 때 (*)이 성립함을 보이자. ∑i=12k+1(i+k2)\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{2 k + 1} \left( i + k ^{2} \right) =∑i=12k−1{i+(k−1)2}+∑i=12k−1(2k−1)+\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{2 k - 1} \left\{ i + \left( k - 1 \right) ^{2} \right\} + \sum\limits _{i = 1} ^{2 k - 1} \left( 2 k - 1 \right) +(가)

== (나)

그러므로 n=k+1n = k + 1일 때도 (*)이 성립한다. 따라서 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 nn에 대하여 (*)이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 식을 f(k)f ( k ), (나)에 알맞은 식을 g(k)g ( k )라 할 때, g(4)f(4)\displaystyle \frac{g ( 4 )}{f ( 4 )}의 값은? [3점] ①237\displaystyle \frac{23}{7}②247\displaystyle \frac{24}{7}③257\displaystyle \frac{25}{7}④267\displaystyle \frac{26}{7}⑤277\displaystyle \frac{27}{7}

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⑤

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해설

∑i=12k+1(i+k2)\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{2 k + 1} \left( i + k ^{2} \right) =∑i=12k−1(i+k2)+∑i=2k2k+1(i+k2)\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{2 k - 1} \left( i + k ^{2} \right) + \sum\limits _{i = 2 k} ^{2 k + 1} \left( i + k ^{2} \right) =∑i=12k−1(i+k2)+(2k+k2)+(2k+1+k2)\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{2 k - 1} \left( i + k ^{2} \right) + \left( 2 k + k ^{2} \right) + \left( 2 k + 1 + k ^{2} \right) =∑i=12k−1{i+(k−1)2+(2k−1)}+(2k2+4k+1)\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{2 k - 1} \left\{ i + ( k - 1 ) ^{2} + ( 2 k - 1 ) \right\} + \left( 2 k ^{2} + 4 k + 1 \right) =∑i=12k−1{i+(k−1)2}+∑i=12k−1(2k−1)+(2k2+4k+1)\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{2 k - 1} \left\{ i + ( k - 1 ) ^{2} \right\} + \sum\limits _{i = 1} ^{2 k - 1} {( 2 k - 1 )} + \left( 2 k ^{2} + 4 k + 1 \right) 이므로 f(k)=2k2+4k+1f ( k ) = 2 k ^{2} + 4 k + 1이다. 한편 ∑i=12k−1{i+(k−1)2}+∑i=12k−1(2k−1)+(2k2+4k+1)\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{2 k - 1} \left\{ i + ( k - 1 ) ^{2} \right\} + \sum\limits _{i = 1} ^{2 k - 1} ( 2 k - 1 ) + \left( 2 k ^{2} + 4 k + 1 \right) =(k−1)3+k3+∑i=12k−1(2k−1)+(2k2+4k+1)\displaystyle = ( k - 1 ) ^{3} + k ^{3} + \sum\limits _{i = 1} ^{2 k - 1} ( 2 k - 1 ) + \left( 2 k ^{2} + 4 k + 1 \right) =(k−1)3+k3+(2k−1)2+(2k2+4k+1)= ( k - 1 ) ^{3} + k ^{3} + ( 2 k - 1 ) ^{2} + \left( 2 k ^{2} + 4 k + 1 \right) =k3−3k2+3k−1+k3+4k2−4k+1+2k2+4k+1= k ^{3} - 3 k ^{2} + 3 k - 1 + k ^{3} + 4 k ^{2} - 4 k + 1 + 2 k ^{2} + 4 k + 1 =k3+k3+3k2+3k+1= k ^{3} + k ^{3} + 3 k ^{2} + 3 k + 1 =k3+(k+1)3= k ^{3} + \left( k + 1 \right) ^{3} 그러므로 g(k)=k3+(k+1)3g ( k ) = k ^{3} + ( k + 1 ) ^{3}이다. ∴ g(4)f(4)=18949=277\displaystyle \frac{g ( 4 )}{f ( 4 )} = \frac{189}{49} = \frac{27}{7}

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