대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수학적 귀납법 빈칸

문제

다음은 모든 자연수 nn에 대하여 (n2−n+1)+(n2−n+3)+(n2−n+5)+⋯( n ^{2} - n + 1 ) + ( n ^{2} - n + 3 ) + ( n ^{2} - n + 5 ) + \cdots +(n2+n−3)+(n2+n−1)=n3+ ( n ^{2} + n - 3 ) + ( n ^{2} + n - 1 ) = n ^{3} 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명] (ⅰ) n=1n = 1일 때, (좌변)=1= 1, (우변)=13= 1 ^{3}이므로 성립한다. (ⅱ) n=kn = k일 때 성립한다고 가정하면 (k2−k+1)+(k2−k+3)+⋯+(k2+k−1)=k3( k ^{2} - k + 1 ) + ( k ^{2} - k + 3 ) + \cdots + ( k ^{2} + k - 1 ) = k ^{3} n=k+1n = k + 1일 때 (k2+k+1)+(k2+k+3)+⋯+( k ^{2} + k + 1 ) + ( k ^{2} + k + 3 ) + \cdots + (가)

=(k2−k+1)+(k2−k+3)+⋯+(k2+k−1)= ( k ^{2} - k + 1 ) + ( k ^{2} - k + 3 ) + \cdots + ( k ^{2} + k - 1 ) ++ (나) ++ (가)

== (다)

따라서 n=k+1n = k + 1일 때도 성립한다. 그러므로 주어진 식은 모든 자연수 nn에 대하여 성립한다.

이 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
①k2+3k−1k ^{2} + 3 k - 12k22 k ^{2}k3+1k ^{3} + 1
②k2+3k−1k ^{2} + 3 k - 12(k2+1)2 ( k ^{2} + 1 )(k+1)3( k + 1 ) ^{3}
③k2+3k−1k ^{2} + 3 k - 12k(k+1)2 k ( k + 1 )k3+1k ^{3} + 1
④k2+3k+1k ^{2} + 3 k + 12k22 k ^{2}(k+1)3( k + 1 ) ^{3}
⑤k2+3k+1k ^{2} + 3 k + 12k(k+1)2 k ( k + 1 )(k+1)3( k + 1 ) ^{3}
정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 증명하기 (가) k2+3k+1k ^{2} + 3 k + 1

(나) 2k22 k ^{2}

(다) (k+1)3( k + 1 ) ^{3}

태그

#빈칸 추론

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 수학적 귀납법 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로