수학적 귀납법 빈칸

$a _{1} = 1$, $a _{2} = - 1$, $a _{3} = 4$인 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle n \left( n - 2 \right) a _{n + 1} = \sum\limits _{i = 1} ^{n} a _{i}$ 를 만족시킨다. 다음은 $\displaystyle a _{n} = \frac{8}{\left( n - 1 \right) \left( n - 2 \right)}$ $\left( n \geq 3 \right)$ 임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (ⅰ) $n = 3$일 때, $\displaystyle a _{3} = 4 = \frac{8}{\left( 3 - 1 \right) \left( 3 - 2 \right)}$이므로 성립한다. (ⅱ) $n = k$ $\left( k \geq 3 \right)$일 때, 성립한다고 가정하면 $\displaystyle a _{k} = \frac{8}{\left( k - 1 \right) \left( k - 2 \right)}$ 이다. $\displaystyle k \left( k - 2 \right) a _{k + 1} = \sum\limits _{i = 1} ^{k} a _{i} = a _{k} + \sum\limits _{i = 1} ^{k - 1} a _{i}$ $= a _{k} + \left( k - 1 \right) \left( k - 3 \right) a _{k}$ $= a _{k} \times {\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} \left( \text{가} \right) _{{} _{}}}}$ $\displaystyle = \frac{8}{\left( k - 1 \right) \left( k - 2 \right)} \times {\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} \left( \text{가} \right) _{{} _{}}}}$ $\displaystyle = \frac{{\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} \left( \text{나} \right) _{{} _{}}}}}{k - 1}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle a _{k + 1} = \frac{1}{k \left( k - 2 \right)} \times \frac{{\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} \left( \text{나} \right) _{{} _{}}}}}{k - 1} = \frac{8}{{\square {{}^{{} ^{{} ^{}}} \left( \text{다} \right) _{{} _{}}}} ^{{} ^{} {}^{}} {}^{}}$ 이다. 따라서 $n = k + 1$일 때 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $n \geq 3$인 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n} = \frac{8}{\left( n - 1 \right) \left( n - 2 \right)}$이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f \left( k \right)$, $g \left( k \right)$, $h \left( k \right)$라 할 때, $\displaystyle \frac{f \left( 13 \right) \times g \left( 14 \right)}{h \left( 12 \right)}$의 값은? [4점] ①$88$②$96$③$104$④$112$⑤$120$