수학적 귀납법 빈칸

[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 주어진 명제를 증명한다. (ⅰ) $n = 1$일 때, (좌변)$= 1 \times 1 = 1$ (우변)$\displaystyle = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4}{24} = 1$ (좌변)$=$(우변)$= {\square {1 _{} ^{}}}$이므로 (*)이 성립한다. (ⅱ) $n = m$일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} k \left\{ k + ( k + 1 ) + ( k + 2 ) + \cdots + m _{} ^{} \right\}$ $\displaystyle = \frac{m ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( 3 m + 1 )}{24}$ 이다. $n = m + 1$일 때, (*)이 성립함을 보이자. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k \left\{ k + ( k + 1 ) + ( k + 2 ) + \cdots + ( m + 1 ) \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{m} k \left\{ k + ( k + 1 ) + \cdots + ( m + 1 ) \right\}$$\displaystyle + \sum\limits _{k=m+1} ^{m+1} k \left\{ k + ( k + 1 ) + \cdots + ( m + 1 ) \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} k \left\{ k + ( k + 1 ) + \cdots + ( m + 1 ) \right\} + {\square {( m + 1 ) ^{2 ^{}} _{} {}^{}}}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} k \left\{ k + ( k + 1 ) + \cdots + m \right\}$ $\displaystyle + ( m + 1 ) \sum\limits _{k = 1} ^{m} k + {\square {( m + 1 ) ^{2 ^{}} _{} {}^{}}}$ $\displaystyle = {\square {\frac{m ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( 3 m + 1 ) ^{}}{{24} ^{} _{}}}}$$\displaystyle + \frac{m ( m + 1 ) ^{2}}{2} + {\square {( m + 1 ) ^{2 ^{}} _{} {}^{}}}$ $\displaystyle = \frac{( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) ( 3 m + 4 )}{24}$ 따라서 $n = m + 1$일 때도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 $n$에 대하여 (*)이 성립한다. 따라서 $a = 1$ $f ( m ) = ( m + 1 ) ^{2}$ $\displaystyle g ( m ) = \frac{m ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( 3 m + 1 ) ^{}}{24}$이므로 $a + f ( 2 ) + g ( 3 )$$\displaystyle = 1 + ( 2 + 1 ) ^{2} + \frac{3 ( 3 + 1 ) ( 3 + 2 ) ( 3 \times 3 + 1 ) ^{}}{24}$ $= 1 + 9 + 25$$= 35$