수학적 귀납법 빈칸

[출제의도] 수열의 성질 추론하기 (1) $n = 1$일 때, $( \text{좌변} ) = 1$, $( \text{우변} ) = 1$이므로 (*)이 성립한다. (2) $n = m$일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} k \left( m + 1 - k \right) 2 ^{k - 1} = \left( m - 2 \right) 2 ^{m + 1} + m + 4$ 이다. $n = m + 1$일 때, (*)이 성립함을 보이자. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k \left( m + 2 - k \right) 2 ^{k - 1}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k \left( m + 1 - k + 1 \right) 2 ^{k - 1}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k \left( m + 1 - k \right) 2 ^{k - 1} + \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k 2 ^{k - 1}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} k \left( m + 1 - k \right) 2 ^{k - 1} + \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k 2 ^{k - 1}$ $= {\square {\left( m - 2 \right) 2 ^{m + 1}}} + m + 4$$\displaystyle + \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k 2 ^{k - 1}$ 이다. 한편 $\displaystyle S = \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k 2 ^{k - 1}$이라고 하면 $S = 1 \cdot 2 ^{0} + 2 \cdot 2 ^{1} + 3 \cdot 2 ^{2} + \cdots + \left( m + 1 \right) 2 ^{m}$ 이다. $S - 2 S = 1 + 2 + 2 ^{2} + 2 ^{3} + \cdots + 2 ^{m} - \left( m + 1 \right) 2 ^{m + 1}$ $\displaystyle = \frac{2 ^{m + 1} - 1}{2 - 1} - \left( m + 1 \right) 2 ^{m + 1}$ $= {\square {\left( 2 ^{m + 1} - 1 \right)}} - \left( m + 1 \right) 2 ^{m + 1}$ 이다. 그러므로 $S = \left( m + 1 \right) 2 ^{m + 1} - {\square {\left( 2 ^{m + 1} - 1 \right)}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k \left( m + 2 - k \right) 2 ^{k - 1}$$= \left( m - 1 \right) 2 ^{m + 2}$$+ m + 5$ 그러므로 $n = m + 1$일 때도 (*)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 (*)이 성립한다. $f \left( m \right) = \left( m - 2 \right) 2 ^{m + 1}$, $g \left( m \right) = 2 ^{m + 1} - 1$이므로 $\displaystyle \frac{f \left( 15 \right)}{g \left( 15 \right) + 1} = \frac{\left( 15 - 2 \right) 2 ^{16}}{\left( 2 ^{16} - 1 \right) + 1} = 13$이다.