수학적 귀납법 빈칸

[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 수열의 일반항을 증명한다. (ⅰ) $n = 1$일 때, $\displaystyle a _{1} = \frac{a _{1} ^{2} + 1}{2 a _{1}}$에서 $a _{1} ^{2} = 1$ $a _{1} > 0$이므로 (좌변)$= a _{1} = 1$, (우변)$= 1 - 0 = 1$ 따라서 $n = 1$일 때 (*)이 성립한다. (ⅱ) $n = m$일 때 (*)이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle a _{m} = \sqrt{m} - \sqrt{m - 1}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k} + a _{m + 1}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \left( \sqrt{k} - \sqrt{k - 1} \right) + a _{m + 1}$ $\displaystyle = ( \sqrt{1} - \sqrt{0} ) + ( \sqrt{2} - \sqrt{1} ) +$ $\displaystyle \cdots + ( \sqrt{m} - \sqrt{m - 1} ) + a _{m + 1}$ $\displaystyle = {\square {{}^{} \sqrt{m} _{}}} + a _{m + 1}$ 주어진 조건에서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} a _{k} = \frac{a _{m + 1} ^{2} + 1}{2 a _{m + 1}}$이므로 $\displaystyle \frac{a _{m + 1} ^{2} + 1}{2 a _{m + 1}} =$$\displaystyle \sqrt{m} + a _{m + 1}$ 즉, $\displaystyle a _{m + 1} ^{2} + 2 \sqrt{m} \times a _{m + 1} - 1 = 0$ $\displaystyle a _{m + 1} = \mathit{-} \sqrt{m} \pm \sqrt{m + 1}$ 이고, $a _{m + 1} > 0$이므로 $\displaystyle a _{m + 1} = \square {{}^{} \sqrt{m + 1} _{}} - \sqrt{m}$ 이다. 따라서 $n = m + 1$일 때도 (*)이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle a _{n} = \sqrt{n} - \sqrt{n - 1}$이다. $\displaystyle f ( m ) = \sqrt{m}$, $\displaystyle g ( m ) = \sqrt{m + 1}$이므로 $f ( 25 ) + g ( 35 ) = 5 + 6$$= 11$