수학적 귀납법 빈칸

[출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 추론하기 <증 명> (1) $n = 1$일 때, (좌변)$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{1} \frac{2 k + 3}{k ( k + 1 )} \cdot \frac{1}{3 ^{k}} =$$\displaystyle \square {\frac{5}{6}}$$=$(우변) 이므로 (★)이 성립한다. (2) $n = m$일 때, (★)이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{2 k + 3}{k ( k + 1 )} \cdot \frac{1}{3 ^{k}} = 1 - \frac{1}{( m + 1 ) 3 ^{m}}$이다. $n = m + 1$일 때, (★)이 성립함을 보이자. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \frac{2 k + 3}{k ( k + 1 )} \cdot \frac{1}{3 ^{k}}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} \frac{2 k + 3}{k ( k + 1 )} \cdot \frac{1}{3 ^{k}} + \square \frac{2 m + 5}{( m + 1 ) ( m + 2 )} \cdot \frac{1}{\square} {3 ^{m + 1}}$ $\displaystyle = 1 - \frac{1}{( m + 1 ) 3 ^{m}} + \frac{2 m + 5}{( m + 1 ) ( m + 2 )} \cdot \frac{1}{3 ^{m + 1}}$ $\displaystyle \begin{aligned} = 1 - \frac{\square {3 ( m + 2 )}}{( m + 1 ) ( m + 2 ) \square {3 ^{m + 1}}} \\ + \frac{2 m + 5}{( m + 1 ) ( m + 2 )} \cdot \frac{1}{3 ^{m + 1}} \end{aligned}$ $\displaystyle = 1 - \frac{3 m + 6 - 2 m - 5}{( m + 1 ) ( m + 2 ) 3 ^{m + 1}}$ $\displaystyle = 1 - \frac{1}{( m + 2 ) 3 ^{m + 1}}$ 그러므로 $n = m + 1$일 때도 (★)이 성립한다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 (★)이 성립한다. $\displaystyle p = \frac{5}{6}$, $\displaystyle f ( m ) = \frac{2 m + 5}{3 ^{m + 1}}$, $\displaystyle g ( m ) = \frac{3 ( m + 2 )}{3 ^{m + 1}}$ $\therefore$ $\displaystyle p \times f \left( 1 \right) \times g ( 1 ) = \frac{5}{6} \times \frac{7}{9} \times 1 = \frac{35}{54}$