대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수학적 귀납법 빈칸

문제

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 5 k - 3 ) \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \cdots + \frac{1}{n} \right) = \frac{n ( 5 n + 3 )}{4}$ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]

(1) $n = 1$ 일 때, (좌변) $= 2$ , (우변) $= 2$ 이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) $n = m$ 일 때 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 5 k - 3 ) \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \cdots + \frac{1}{m} \right)$ $\displaystyle = \frac{m ( 5 m + 3 )}{4}$ 이다. $n = m + 1$ 일 때 성립함을 보이자. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} ( 5 k - 3 ) \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \cdots + \frac{1}{m + 1} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 5 k - 3 ) \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \cdots + \frac{1}{m + 1} \right) + \frac{\square {\text{(가)}}}{m + 1}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 5 k - 3 ) \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \cdots + \frac{1}{\square {\text{(나)}}} \right)$ $\displaystyle + \frac{1}{m + 1} \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 5 k - 3 ) + \frac{\square {\text{(가)}}}{m + 1}$ $\displaystyle = \frac{m ( 5 m + 3 )}{4} + \frac{1}{m + 1} \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} \left( \square {\text{(다)}} \right)$ $\displaystyle = \frac{( m + 1 ) ( 5 m + 8 )}{4}$ 그러므로 $n = m + 1$ 일 때도 성립한다. 따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ① $5 m - 3$ $m$ $5 k + 2$ ② $5 m - 3$ $m + 1$ $5 k + 2$ ③ $5 m + 2$ $m$ $5 k - 3$ ④ $5 m + 2$ $m$ $5 k + 2$ ⑤ $5 m + 2$ $m + 1$ $5 k - 3$

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③

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해설

$\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} ( 5 k - 3 ) \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \cdots + \frac{1}{m + 1} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 5 k - 3 ) \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \cdots + \frac{1}{m + 1} \right)$ $\displaystyle + \left\{ 5 ( m + 1 ) - 3 \right\} \frac{1}{m + 1}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 5 k - 3 ) \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \cdots + \frac{1}{m + 1} \right)$ $\displaystyle + \frac{5 m + 2}{m + 1}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 5 k - 3 ) \left\{ \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \cdots + \frac{1}{m} \right) + \frac{1}{m + 1} \right\}$ $\displaystyle + \frac{5 m + 2}{m + 1}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 5 k - 3 ) \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \cdots + \frac{1}{m} \right)$ $\displaystyle + \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 5 k - 3 ) \frac{1}{m + 1}$ $\displaystyle + \frac{5 m + 2}{m + 1}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 5 k - 3 ) \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \cdots + \frac{1}{m} \right)$ $\displaystyle + \frac{1}{m + 1} \sum\limits _{k = 1} ^{m} ( 5 k - 3 )$ $\displaystyle + \frac{5 m + 2}{m + 1}$ $\displaystyle = \frac{m ( 5 m + 3 )}{4} + \frac{1}{m + 1} \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} ( 5 k - 3 )$ $\displaystyle = \frac{( m + 1 ) ( 5 m + 8 )}{4}$ 따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 차례로 $5 m + 2 , m , 5 k - 3$ 이다.

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