대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수도관 물의 속력

문제

원기둥 모양의 수도관에서 단면인 원의 넓이를 $S$ , 원의 둘레의 길이를 $L$ 이라 하고, 수도관의 기울기를 $I$ 라 하자. 이 수도관에서 물이 가득 찬 상태로 흐를 때 물의 속력을 $v$ 라 하면 $\displaystyle v = c \left( \frac{S}{L} \right) ^{\frac{2}{3}} \cdot {I} ^{\frac{1}{2}}$ (단, $c$ 는 상수이다.) 이 성립한다고 한다. 단면인 원의 반지름의 길이가 각각 $a$ , $b$ 인 원기둥 모양의 두 수도관 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 에서 물이 가득 찬 상태로 흐르고 있다. 두 수도관 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 기울기가 각각 $0.01$ , $0.04$ 이고, 흐르는 물의 속력을 각각 $v _{\mathrm{A}}$ , $v _{\mathrm{B}}$ 라고 하자. $\displaystyle \frac{v _{\mathrm{A}}}{v _{\mathrm{B}}} = 2$ 일 때, $\displaystyle \frac{a}{b}$ 의 값은? (단, 두 수도관 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 에 대한 상수 $c$ 의 값은 서로 같다.) [4점] ① $4$ ② $\displaystyle 4 \sqrt{2}$ ③ $8$ ④ $\displaystyle 8 \sqrt{2}$ ⑤ $16$

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③

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해설

[출제의도] 지수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle v _{\mathrm{A}} = c \left( \frac{\pi a ^{2}}{2 \pi a} \right) ^{\frac{2}{3}} ( 0.01 ) ^{\frac{1}{2}} = \frac{c}{10} \left( \frac{a}{2} \right) ^{\frac{2}{3}}$ , $\displaystyle v _{\mathrm{B}} = c \left( \frac{\pi b ^{2}}{2 \pi b} \right) ^{\frac{2}{3}} ( 0.04 ) ^{\frac{1}{2}} = \frac{2 c}{10} \left( \frac{b}{2} \right) ^{\frac{2}{3}}$ 이므로 $\displaystyle \frac{v _{\mathrm{A}}}{v _{\mathrm{B}}} =$ $\displaystyle \frac{\frac{c}{10} \left( \frac{a}{2} \right) ^{\frac{2}{3}}}{\frac{2 c}{10} \left( \frac{b}{2} \right) ^{\frac{2}{3}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{a}{b} \right) ^{\frac{2}{3}} = 2$ 이때, $\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right) ^{\frac{2}{3}} = 4$ 이므로 $\displaystyle \frac{a}{b} = 8$

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