대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수 나무 규칙

문제

그림은 제 $1$ 행에 $1$ 을 시작으로 바로 다음 행에 ↙ 방향으로는 직전의 수에 $2$ 를 더한 수를, ↘ 방향으로는 직전의 수의 역수를 나열하는 과정을 반복한 것이다. 예를 들면, 제 $3$ 행의 첫 번째 수 $5$ 는 직전의 수 $3$ 에 $2$ 를 더한 수이고, 두 번째 수 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 은 직전의 수 $3$ 의 역수이다.

제 $10$ 행의 맨 왼쪽부터 $\left( 2 ^{8} + 2 \right)$ 번째에 있는 수는? [4점] ① $\displaystyle \frac{1}{17}$ ② $\displaystyle \frac{1}{15}$ ③ $13$ ④ $15$ ⑤ $17$

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②

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해설

각 행에 있는 항의 수는 $1 , 2 , 4 , 8 , \cdots$ 이므로 $n$ 행에 있는 항의 수는 $2 ^{n-1}$ 개다. 또한, $n \geq 2$ 인 경우 $n$ 행에서 $2 ^{n-2} + 1$ 항의 수열은 $1 , 3 , 5 , 7 , \cdots$ 이므로 일반항 $a _{n}$ 은 $a _{n} = 2 n - 3$ (단, $n \geq 2$ ) 따라서, $10$ 행에서 $2 ^{8} + 2$ 번째 항은 $9$ 행에서 $2 ^{7} + 1$ 번째 항 즉, $a _{9}$ 의 역함수이므로 $a _{9} = 2 \times 9 - 3 = 15$ $\displaystyle \therefore \frac{1}{15}$

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