대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수 나무 규칙

문제

그림은 제 $1$ 행에 $1$ 을 시작으로 바로 다음 행에 ↙ 방향으로는 직전의 수에 $2$ 를 더한 수를, ↘ 방향으로는 직전의 수의 역수를 나열하는 과정을 반복한 것이다. 예를 들면, 제 $3$ 행의 첫 번째 수 $5$ 는 직전의 수 $3$ 에 $2$ 를 더한 수이고, 두 번째 수 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 은 직전의 수 $3$ 의 역수이다.

제 $10$ 행의 맨 왼쪽부터 $\left( 2 ^{8} + 2 \right)$ 번째에 있는 수는? [4점] ① $\displaystyle \frac{1}{17}$ ② $\displaystyle \frac{1}{15}$ ③ $13$ ④ $15$ ⑤ $17$

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②

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해설

제 $n$ 행의 수의 개수는 $2 ^{(n-1)}$ 개이므로 10행의 수의 개수는 $2 ^{9}$ 개이다. 10행의 맨 왼쪽의 수는 $2 \cdot 10 - 1 = 19$ 이므로 ( $2 ^{8} + 1$ )번째 수는 17이고 그 위의 수는 $17 - 2 = 15$ 이므로 ( $2 ^{8} + 2$ )번째 수는 $\displaystyle \frac{1}{15}$ 이다.

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