쌍곡선의 접선과 두 쌍곡선

[출제의도] 쌍곡선의 접선의 방정식을 활용하여 문제해결하기 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{27} = 1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{2} , \mathit{k} \right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{9}{2 a ^{2}} x - \frac{k}{27} y = 1$이므로 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{\left( \frac{\mathit{2}}{9} a ^{2} , 0 \right)}$ 두 점 $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$는 두 초점이 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F}'$이고 점 $\mathrm{Q}$를 한 꼭짓점으로 하는 쌍곡선 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{RF}'}} - {\overline{\mathrm{RF}}} = {\overline{\mathrm{SF}}} - {\overline{\mathrm{SF}'}} = \frac{4}{9} \mathit{a} ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{RS}}} + {\overline{\mathrm{SF}}} - {\overline{\mathrm{RF}}}$$\displaystyle = \left( {\overline{\mathrm{RF}'}} - {\overline{\mathrm{SF}'}} \right) + \mathrm{\overline{SF}} - \mathrm{\overline{RF}}$ $\displaystyle = \left( {\overline{\mathrm{RF}'}} - {\overline{\mathrm{RF}}} \right) + \left( {\overline{\mathrm{SF}}} - {\overline{\mathrm{SF}'}} \right)$$\displaystyle = \frac{\mathit{4}}{9} a ^{2} + \frac{4}{9} a ^{2}$$\displaystyle = \frac{8}{9} a ^{2} = 8$ 에서 $a ^{2} = 9$ 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{9}{2} , \mathit{k} \right)$는 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{27} = 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle k ^{2} = \frac{135}{4}$ 따라서 $\displaystyle 4 \times \left( a ^{2} + k ^{2} \right) = 4 \times \left( 9 + \frac{135}{4} \right) = 171$