쌍곡선의 접선

쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = - 1$ 위의 점 $\displaystyle \left( a , \sqrt{2} a \right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{ax}{a ^{2}} - \frac{\sqrt{2} ay}{a ^{2}} = - 1$, $\displaystyle \frac{x}{a} - \frac{\sqrt{2} y}{a} = - 1$ $\displaystyle x - \sqrt{2} y = - a$ 접선이 $y$축과 만나는 점 ${\mathrm{P}}$의 $y$좌표는 $x = 0$일 때 $\displaystyle - \sqrt{2} y = - a$, $\displaystyle y = \frac{a}{\sqrt{2}}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{0} , \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$ 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = - 1$의 초점은 $y$축 위에 있으므로 초점의 좌표를 $\left( 0 , c \right)$, $\left( 0 , - c \right)$라 하면 $c ^{2} = a ^{2} + a ^{2} = 2 a ^{2}$, $\displaystyle c = \sqrt{2} a$ $\left( a > 0 \right)$ 즉, 두 초점의 좌표는 $\displaystyle {\mathrm{F}} \left( 0 , \sqrt{2} a \right)$, $\displaystyle {\mathrm{F'}} \left( 0 , - \sqrt{2} a \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = \left| \sqrt{2} a - \frac{a}{\sqrt{2}} \right| = \frac{a}{\sqrt{2}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF'}}} = \left| \frac{a}{\sqrt{2}} - \left( - \sqrt{2} a \right) \right| = \frac{3 a}{\sqrt{2}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} \times {\overline{\mathrm{PF'}}} = 8$이므로 $\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}} \times \frac{3 a}{\sqrt{2}} = 8$, $\displaystyle \frac{3 a ^{2}}{2} = 8$, $\displaystyle a ^{2} = \frac{16}{3}$ $a > 0$이므로 $\displaystyle a = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$