기하이차곡선수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

쌍곡선과 원의 삼각형

문제

그림과 같이 두 점 F(c,0)\mathrm{F} \mathit{\left( c , 0 \right)}, F′(−c,0)(c>0)\mathrm{F} \mathit{'} \left( - c , 0 \right) \left( c > 0 \right)을 초점으로 하고 주축의 길이가 6\mathrm{6}인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선이 선분 FF′\mathrm{FF} \mathit{'}을 지름으로 하는 원과 제1\mathrm{1}사분면에서 만나는 점을 P{\mathrm{P}}라 하자. 선분 F′P{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{P}}가 쌍곡선과 만나는 점 중 점 P{\mathrm{P}}가 아닌 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하고, 선분 FQ{\mathrm{FQ}}가 쌍곡선과 만나는 점 중 점 Q{\mathrm{Q}}가 아닌 점을 R{\mathrm{R}}라 하자. 점 Q{\mathrm{Q}}가 선분 F′P\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}를 1:21 : 2로 내분할 때, 삼각형 QF′R\mathrm{QF} \mathit{'} \mathrm{R}의 넓이를 SS라 하자. 20S20 S의 값을 구하시오. [4점]

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150

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해설

F′Q‾=k(k>0)\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}} = k \left( k > 0 \right)이라 하자. 점 Q{\mathrm{Q}}가 선분 F′P\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}를 1:21 : 2로 내분하므로 QP‾=2k\displaystyle {\overline{\mathrm{QP}}} = 2 k, F′P‾=3k\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}} = 3 k 점 P{\mathrm{P}}와 Q{\mathrm{Q}}는 초점이 F′\mathrm{F} \mathit{'}, F{\mathrm{F}}이고 주축의 길이가 6\mathrm{6}인 쌍곡선 위의 점이므로 FP‾=3k−6\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = 3 k - 6, FQ‾=k+6\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = k + 6 ∠F′PF=π2\displaystyle \angle \mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{PF} \mathit{=} \frac{\pi}{2}이므로 직각삼각형 PQF{\mathrm{PQF}}에서 (2k)2+(3k−6)2=(k+6)2\left( 2 k \right) ^{2} + \left( 3 k - 6 \right) ^{2} = \left( k + 6 \right) ^{2}, k=4k = 4 따라서 PQ‾=8\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 8, FP‾=6\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = 6, FQ‾=10\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = 10 QR‾=t(t>0)\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} = t \left( t > 0 \right)이라 하면 FR‾=10−t\displaystyle {\overline{\mathrm{FR}}} = 10 - t 점 R{\mathrm{R}}는 초점이 F′\mathrm{F} \mathit{'}, F\mathrm{F}이고 주축의 길이가 6\mathrm{6}인 쌍곡선 위의 점이므로 F′R‾=16−t\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{R}}} = 16 - t ∠F′QR=θ\angle \mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{QR} \mathit{=} \theta라 하자. cos⁡(π−θ)=QP‾FQ‾=45\displaystyle \cos \left( \pi - \theta \right) = \frac{{\overline{\mathrm{QP}}}}{{\overline{\mathrm{FQ}}}} = \frac{4}{5}, cos⁡θ=−45\displaystyle \cos \theta = - \frac{4}{5}, sin⁡θ=35\displaystyle \sin \theta = \frac{3}{5} 삼각형 QF′R{\mathrm{QF}} \mathit{'} {\mathrm{R}}에서 코사인법칙에 의하여 cos⁡θ=42+t2−(16−t)22×4×t=−45\displaystyle \cos \theta = \frac{4 ^{2} + t ^{2} - \left( 16 - t \right) ^{2}}{2 \times 4 \times t} = - \frac{4}{5}, t=254\displaystyle t = \frac{25}{4} 삼각형 QF′R{\mathrm{QF}} \mathit{'} {\mathrm{R}}의 넓이 SS는 S=12×4×254×sin⁡θ=12×4×254×35=152\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{25}{4} \times \sin \theta = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{25}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{15}{2} 20S=15020 S = 150

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#쌍곡선의 정의#코사인법칙

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