쌍곡선과 원

$\displaystyle \overline{{\mathrm{PF}}} = 3 k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF} \mathit{'}}} = 4 k \left( k > 0 \right)$이라 하자. 쌍곡선의 정의에 의하여 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PF}} \mathit{'}} - \overline{{\mathrm{PF}}} = k = 2 a$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = {\overline{\mathrm{AF} \mathit{'}}}$이므로 삼각형 ${\mathrm{APF}} \mathit{'}$은 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = {\overline{\mathrm{AF} \mathit{'}}}$인 이등변삼각형이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QP}}} = {\overline{\mathrm{QF} \mathit{'}}} = 4 a$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{PF}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{QP}}} ^{2}} = \sqrt{\left( 6 a \right) ^{2} - \left( 4 a \right) ^{2}} = 2 \sqrt{5} a$ 삼각형 ${\mathrm{FPF}} \mathit{'}$에서 선분 ${\mathrm{FQ}}$가 선분 ${\mathrm{PF}} \mathit{'}$을 수직이등분하므로 삼각형 ${\mathrm{FPF}} \mathit{'}$은 이등변삼각형이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FF} \mathit{'}}} = {\overline{\mathrm{PF}}} = 6 a$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OF}}} = c = 3 a$ (단, ${\mathrm{O}}$는 원점) $\angle {\mathrm{AFF}} \mathit{'} = \theta$라 하면 직각삼각형 ${\mathrm{QFF}} \mathit{'}$에서 $\displaystyle \tan \theta = \frac{{\overline{\mathrm{QF} \mathit{'}}}}{{\overline{\mathrm{QF}}}} = \frac{4 a}{2 \sqrt{5} a} = \frac{2}{5} \sqrt{5}$ 직각삼각형 ${\mathrm{OFA}}$에서 $\displaystyle \tan \theta = \frac{{\overline{\mathrm{OA}}}}{{\overline{\mathrm{OF}}}} = \frac{6}{c} = \frac{2}{a}$ $\displaystyle \frac{2}{5} \sqrt{5} = \frac{2}{a}$, $\displaystyle a = \sqrt{5}$ $c ^{2} = a ^{2} + b ^{2} = 9 a ^{2}$, $b ^{2} = 8 a ^{2}$ 따라서 $b ^{2} - a ^{2} = 7 a ^{2} = 35$