쌍곡선과 타원의 접선

두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{F}}$를 지나는 직선의 기울기가 음수이므로 점 ${\mathrm{Q}}$는 제$1$사분면 위의 점이다. 점 ${\mathrm{Q}}$의 좌표를 ${\mathrm{Q}} \left( k , b ^{2} \right) \left( k > 0 \right)$이라 하면 점 ${\mathrm{Q}}$가 타원 위의 점이므로 $\displaystyle k ^{2} + \frac{b ^{4}}{b ^{2}} = 1$에서 $k ^{2} = 1 - b ^{2}$ 그러므로 $\displaystyle {\mathrm{Q}} \left( \sqrt{1 - b ^{2}} , b ^{2} \right)$ 타원 위의 점 ${\mathrm{Q}}$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \sqrt{1 - b ^{2}} x + \frac{b ^{2} y}{b ^{2}} = 1$, $\displaystyle \sqrt{1 - b ^{2}} x + y = 1$ 이 직선이 점 ${\mathrm{F}} \left( c , 0 \right)$을 지나므로 $\displaystyle c = \frac{1}{\sqrt{1 - b ^{2}}}$ 이때 점 ${\mathrm{F}}$는 쌍곡선의 초점이므로 $\displaystyle c = \sqrt{1 + a ^{2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - b ^{2}}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 타원의 두 초점을 ${\mathrm{G}} \left( d , 0 \right)$, ${\mathrm{G}}' \left( - d , 0 \right) \left( d > 0 \right)$이라 하면 $d ^{2} = 1 - b ^{2}$이므로 $\displaystyle {\mathrm{G}} \left( \sqrt{1 - b ^{2}} , 0 \right)$, $\displaystyle {\mathrm{G}}' \left( - \sqrt{1 - b ^{2}} , 0 \right)$ 직선 ${\mathrm{QG}}$가 $x$축에 수직이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QG}}} = b ^{2}$

타원의 장축의 길이가 $2$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QG}}} + {\overline{{\mathrm{QG}}'}} = 2$에서 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{QG}}'}} = 2 - {\overline{\mathrm{QG}}} = 2 - b ^{2}$ 쌍곡선의 주축의 길이가 $2$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} - {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = 2$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = {\overline{{\mathrm{PF}}'}} + 2$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{{\mathrm{PF}}'}} + b ^{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{PF}}} - {\overline{\mathrm{PQ}}}$$\displaystyle = \left( {\overline{{\mathrm{PF}}'}} + 2 \right) - \left( {\overline{{\mathrm{PF}}'}} + b ^{2} \right)$$= 2 - b ^{2}$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{QG}}'}} = {\overline{\mathrm{QF}}}$이므로 삼각형 ${\mathrm{QG}}' {\mathrm{F}}$는 이등변삼각형이다. 점 ${\mathrm{G}}$는 선분 ${\mathrm{FG}}'$의 중점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FG}}} = {\overline{\mathrm{GG}'}}$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 - b ^{2}}} - \sqrt{1 - b ^{2}} = 2 \sqrt{1 - b ^{2}}$에서 $\displaystyle b ^{2} = \frac{2}{3}$ ㉠에 의하여 $a ^{2} = 2$ 따라서 $\displaystyle 30 \left( a ^{2} + b ^{2} \right) = 30 \times \left( 2 + \frac{2}{3} \right) = 80$