쌍곡선과 외접원

$\displaystyle {\overline{{\mathrm{OF}} \mathit{'}}} = {\overline{\mathrm{OF}}} = {\overline{\mathrm{OP}}}$에서 점 ${\mathrm{P}}$는 선분 ${\mathrm{FF}} \mathit{'}$을 지름으로 하는 원 위의 점이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{PF} = \frac{\mathit{\pi}}{2}$ $\displaystyle \angle {\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{PQ}} \frac{= \mathit{\pi}}{2}$이므로 선분 ${\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{Q}}$는 세 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{F}} \mathit{'}$, ${\mathrm{Q}}$를 지나는 원의 지름이고, 원의 넓이가 $25 \pi$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}} = 10$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{Q}}}} : {\overline{\mathrm{FQ}}} = 5 : 3$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = 6$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}}} - {\overline{\mathrm{FQ}}} \mathit{=} 4$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = k$라 하면 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{P}}}} = k + 4$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = k + 6$ 직각삼각형 ${\mathrm{PF}} \mathit{'} {\mathrm{Q}}$에서 $10 ^{2} = \left( k + 4 \right) ^{2} + \left( k + 6 \right) ^{2}$이므로 $k ^{2} + 10 k - 24 = \left( k + 12 \right) \left( k - 2 \right) = 0$, $k = 2$ 직각삼각형 ${\mathrm{PF}} \mathit{'} {\mathrm{F}}$에서 $\left( 2 c \right) ^{2} = 2 ^{2} + 6 ^{2} = 40$, $c ^{2} = 10$ 따라서 $\displaystyle c ^{2} \times {\overline{\mathrm{PF}}} = 10 \times 2 = 20$