기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

쌍곡선과 접하는 원

문제

그림과 같이 두 점 F(c,0){\mathrm{F}} \left( c , 0 \right), F′(−c,0)(c>0){\mathrm{F}}' \left( - c , 0 \right) \left( c > 0 \right)을 초점으로 하는 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위의 점 중 제11사분면에 있는 점 P{\mathrm{P}}에 대하여 선분 F′P{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}가 이 쌍곡선과 만나는 점 중 P{\mathrm{P}}가 아닌 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하고, 점 P{\mathrm{P}}를 중심으로 하고 점 Q{\mathrm{Q}}를 지나는 원을 CC라 하자. 원 CC가 xx축과 점 F{\mathrm{F}}에서 접하고 PQ‾+FQ‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{FQ}}} = 1일 때, 원 CC의 반지름의 길이는? [4점]

①3310\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{10}②225\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{5}③33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}④5212\displaystyle \frac{5 \sqrt{2}}{12}⑤327\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{7}

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③

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해설

원 CC의 반지름의 길이를 rr이라 하자. PQ‾+FQ‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} + {\overline{\mathrm{FQ}}} = 1이므로 FQ‾=1−r\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = 1 - r 두 점 P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}는 쌍곡선 위의 점이고 FP‾=QP‾=r\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = {\overline{\mathrm{QP}}} = r이므로 F′P‾−FP‾=FQ‾−F′Q‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}}} - {\overline{\mathrm{FP}}} = {\overline{\mathrm{FQ}}} - {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}}, (F′Q‾+QP‾)−FP‾=FQ‾−F′Q‾\displaystyle \left( {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} + {\overline{\mathrm{QP}}} \right) - {\overline{\mathrm{FP}}} = {\overline{\mathrm{FQ}}} - {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} 2×F′Q‾=FQ‾\displaystyle 2 \times {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} = {\overline{\mathrm{FQ}}}에서 F′Q‾=1−r2\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} = \frac{1 - r}{2} 즉 F′P‾=F′Q‾+QP‾=1−r2+r=1+r2\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}}} = {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}}} + {\overline{\mathrm{QP}}} = \frac{1 - r}{2} + r = \frac{1 + r}{2} 삼각형 FPF′{\mathrm{FPF}}'은 ∠F′FP=π2\displaystyle \angle {\mathrm{F}}' {\mathrm{FP}} = \frac{\pi}{2}인 직각삼각형이므로 cos⁡(∠FPF′)=FP‾F′P‾=r1+r2=2r1+r\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{FPF}}' \right) = \frac{{\overline{\mathrm{FP}}}}{{\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{P}}}}} = \frac{r}{\frac{1 + r}{2}} = \frac{2 r}{1 + r} 삼각형 FPQ{\mathrm{FPQ}}에서 코사인법칙에 의해 FQ‾2=FP‾2+QP‾2−2×FP‾×QP‾×cos⁡(∠FPF′)\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{FP}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{QP}}} ^{2} - 2 \times {\overline{\mathrm{FP}}} \times {\overline{\mathrm{QP}}} \times \cos \left( \angle {\mathrm{FPF}}' \right) (1−r)2=r2+r2−2×r×r×2r1+r\displaystyle \left( 1 - r \right) ^{2} = r ^{2} + r ^{2} - 2 \times r \times r \times \frac{2 r}{1 + r}, 3r3−3r2−r+1=03 r ^{3} - 3 r ^{2} - r + 1 = 0 (3r2−1)(r−1)=0\left( 3 r ^{2} - 1 \right) \left( r - 1 \right) = 0, 0<r<10 < r < 1이므로 r=33\displaystyle r = \frac{\sqrt{3}}{3}

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#쌍곡선의 정의#원

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