쌍곡선과 정삼각형

삼각형 $\mathrm{PQF}$는 정삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \overline{PQ} = \overline{QF} = \sqrt{6} - 1$ $ax ^{2} - 4 y ^{2} = a$에서 $\displaystyle x ^{2} - \frac{y ^{2}}{\frac{a}{4}} = 1$이므로 쌍곡선의 주축의 길이는 $2$이다. $\therefore$$\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} - \overline{PF} = 2$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = \overline{PQ} + \overline{QF'}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \overline{PQ}$이므로 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{QF'}} = 2$ $\angle \mathrm{PQF} = 60 ^\circ$에서 $\mathrm{\angle} \mathrm{FQF}' = 120 ^\circ$이므로 삼각형 $\mathrm{QFF}'$에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{QF}} ^{2} + \overline{QF'} ^{2} - 2 \overline{QF} \cdot \overline{QF'} \cos 120 ^\circ$ $\displaystyle = \left( \sqrt{6} - 1 \right) ^{2} + 2 ^{2} - 2 \cdot \left( \sqrt{6} - 1 \right) \cdot 2 \cdot \left( - \frac{1}{2} \right)$ $= 9$ $\cdots \cdots$ ㉡ 쌍곡선 $\displaystyle x ^{2} - \frac{y ^{2}}{\frac{a}{4}} = 1$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OF}} ^{2} = 1 + \frac{\mathit{a}}{4}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} ^{2} = 4 + \mathit{a}$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉡, ㉢에서 $4 + a = 9$ $\therefore$$a = 5$