쌍곡선과 점근선 평행

쌍곡선 $C$의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 \left( a > 0 , b > 0 \right)$ 이라 하면 쌍곡선 $C$의 점근선의 방정식은 $\displaystyle y = \pm \frac{b}{a} x$ 점 ${\mathrm{P}}$가 제$1$사분면 위에 있으므로 직선 ${\mathrm{PF}}$와 직선 $\displaystyle y = \frac{b}{a} x$는 서로 평행하지 않다. 그러므로 직선 ${\mathrm{PF}}$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{b}{a}$ $\displaystyle \angle {\mathrm{QPF}}' = \frac{\pi}{2}$이므로 직선 ${\mathrm{PF}}'$의 기울기는 $\displaystyle \frac{a}{b}$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} : {\overline{\mathrm{PF}}} = b : a$에서 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = bt$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = at \left( t > 0 \right)$이라 하자. $\displaystyle {\overline{{\mathrm{FF}}'}} = 2 c$이므로 직각삼각형 ${\mathrm{FPF}}'$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} ^{2} + {\overline{P F'}} ^{2} = {\overline{F F'}} ^{2}$, $\left( at \right) ^{2} + \left( bt \right) ^{2} = \left( 2 c \right) ^{2}$ $t ^{2} \left( a ^{2} + b ^{2} \right) = 4 c ^{2}$ $\cdots \cdots$㉠ 쌍곡선 $C$의 초점 ${\mathrm{F}}$의 $x$좌표가 $c$이므로 $a ^{2} + b ^{2} = c ^{2}$ $\cdots \cdots$㉡ ㉠에 ㉡을 대입하면 $t ^{2} c ^{2} = 4 c ^{2}$, $t ^{2} = 4 t > 0$이므로 $t = 2$, 즉, $\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = 2 b$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = 2 a$ 점 ${\mathrm{P}}$가 쌍곡선 $C$ 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} - {\overline{\mathrm{PF}}} = 2 a$ $2 b - 2 a = 2 a$, $b = 2 a$ ㉡에 $b = 2 a$를 대입하면 $a ^{2} + \left( 2 a \right) ^{2} = c ^{2}$, $\displaystyle c = \sqrt{5} a$ 직선 ${\mathrm{PF}}$의 기울기가 $\displaystyle - \frac{b}{a} = - 2$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OF}}} : {\overline{\mathrm{OQ}}} = 1 : 2$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OF}}} = c = \sqrt{5} a$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = 2 \sqrt{5} a$ 직각삼각형 ${\mathrm{QOF}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OF}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{OQ}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{QF}}} ^{2}$, $\displaystyle \left( \sqrt{5} a \right) ^{2} + \left( 2 \sqrt{5} a \right) ^{2} = 20 ^{2}$, $a = 4$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = 2 a = 8$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{QP}}} = {\overline{\mathrm{QF}}} - {\overline{\mathrm{PF}}} = 20 - 8 = 12$이므로 점 ${\mathrm{P}}$는 선분 ${\mathrm{QF}}$를 $3 : 2$로 내분하는 점이다. 따라서 삼각형 ${\mathrm{OPQ}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OF}}} \times {\overline{\mathrm{OQ}}} = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{5} \times 8 \sqrt{5} = 48$