쌍곡선과 각 이등분선

[출제의도] 쌍곡선의 정의를 이용하여 문제를 해결한다. 직선 ${\mathrm{QR}}$가 $\angle {\mathrm{FQP}}$를 이등분하므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PQ}}} : \overline{{\mathrm{QF}}} = \overline{{\mathrm{PR}}} : \overline{\mathrm{RF}}$ 이때 $\displaystyle 4 \overline{\mathrm{PR}} = 3 \overline{\mathrm{RF}}$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PQ}}} : \overline{{\mathrm{QF}}} = 3 : 4$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{PQ}}} = 3 k$ $( k > 0 )$이라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{QF}}} = 4 k$이고 $\angle {\mathrm{PQF}} = 90 ^\circ$이므로 삼각형 ${\mathrm{PQF}}$에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PF}}} = 5 k$ 쌍곡선의 정의에 의하여 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PF} \mathit{'}}} - \overline{{\mathrm{PF}}} = 2$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PF} \mathit{'}}} = 5 k + 2$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{QF} \mathit{'}}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{PF} \mathit{'}} - \overline{\mathrm{PQ}}$$= ( 5 k + 2 ) - 3 k$$= 2 k + 2$ $\displaystyle {\mathrm{F}} ( \sqrt{17} , 0 )$, $\displaystyle {\mathrm{F}'} ( - \sqrt{17} , 0 )$이므로 직각삼각형 ${\mathrm{QF}' F}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FF} \mathit{'}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{QF}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{QF} \mathit{'}}} ^{2}$, $\displaystyle ( 2 \sqrt{17} ) ^{2}$$= ( 4 k ) ^{2} + ( 2 k + 2 ) ^{2}$ $5 k ^{2} + 2 k - 16 = 0$, $( 5 k - 8 ) ( k + 2 ) = 0$, $\displaystyle k = \frac{8}{5}$ $( k > 0 )$ 따라서 삼각형 ${\mathrm{PF}' F}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{PF} \mathit{'}}} \times \overline{{\mathrm{QF}}} = \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{32}{5}$$= 32$