쌍곡선과 닮은 삼각형

삼각형 $\mathrm{PQF}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \overline{PF}$이므로 $\mathrm{\angle} PQF = \angle PFQ = \alpha$라 하면 $\mathrm{\angle} FPF' = 2 \alpha$이고, $\mathrm{\triangle} QF' F$와 $\mathrm{\triangle} FF' P$가 서로 닮음 관계($\mathrm{AA}$닮음)에 있으므로 $\mathrm{\angle} QFF' = 2 \alpha$이고, $\mathrm{\angle} PFF' = \alpha$이다. 쌍곡선 $\displaystyle x ^{2} - \frac{y ^{2}}{35} = 1$의 주축의 길이가 $2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \mathit{m}$ (단, $m > 0$)라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}}' = \mathit{m} + 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{m}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QF}}' = \mathit{2} m + 2$이고 두 닮은도형 $\mathrm{\triangle} QF' F$와 $\mathrm{\triangle} FF' P$에서

$\displaystyle \mathrm{\overline{FF}}' : \overline{PF}' = \overline{QF}' : \overline{FF}'$ $12 : m + 2 = 2 m + 2 : 12$ $\left( m + 2 \right) \left( m + 1 \right) = 72$, $m ^{2} + 3 m - 70 = 0$ $\left( m + 10 \right) \left( m - 7 \right) = 0$ $\therefore$ $m = 7 \left( \because m > 0 \right)$

이때 두 닮은도형 $\mathrm{\triangle} QF' F$와 $\mathrm{\triangle} FF' P$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{QF}} : \overline{PF} = \overline{FF}' : \overline{PF}'$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QF}} : 7 = 12 : 9$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QF}} = \frac{28}{3}$ 선분 $\mathrm{QF}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 이등변삼각형 $\mathrm{PQF}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{MF}} = \frac{14}{3}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{PFM}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{PM}}$$\displaystyle = \mathrm{\sqrt{{\overline{PF}} ^{2} - {\overline{MF}} ^{2}}}$$\displaystyle = \sqrt{7 ^{2} - \left( \frac{14}{3} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{7 \sqrt{5}}{3}$ $\therefore$ $\mathrm{\triangle} PFQ$$\displaystyle = \frac{\mathrm{1}}{2} \times \overline{QF} \times \overline{PM}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{28}{3} \times \frac{7 \sqrt{5}}{3}$$\displaystyle = \frac{98 \sqrt{5}}{9}$ $p = 9$, $q = 98$이므로 $p + q = 107$