기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

쌍곡선 원 넓이

문제

그림과 같이 쌍곡선 x216−y29=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1의 두 초점을 F,F′\mathrm{F} , F'이라 하고, 이 쌍곡선 위의 점 P\mathrm{P}를 중심으로 하고 선분 PF′\mathrm{PF}'을 반지름으로 하는 원을 C\mathrm{C}라 하자. 원 C\mathrm{C}위를 움직이는 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 선분 FQ\mathrm{FQ}의 길이의 최댓값이 1414일 때, 원 C\mathrm{C}의 넓이는? (단, PF′‾<PF‾\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} < \overline{PF}) [4점]

①7π7 \pi②8π8 \pi③9π9 \pi④10π10 \pi⑤11π11 \pi

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③

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해설

원 C\mathrm{C}의 반지름의 길이를 rr이라 할 때, 타원의 정의에 의하여 FP‾=8+r\displaystyle \mathrm{\overline{FP}} = \mathit{8} + r이다. 선분 FQ\mathrm{FQ}의 길이가 최대일 때의 점 Q\mathrm{Q}의 위치는 그림과 같다.

위 그림에서 선분 FQ\mathrm{FQ}의 길이의 최댓값은 8+2r8 + 2 r이므로 8+2r=148 + 2 r = 14, ∴r=3r = 3이다. 따라서 원 C\mathrm{C}의 넓이는 9π9 \pi이다.

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#쌍곡선의 정의#원

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