쌍곡선 위 점의 접선

쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = - 1$에서 $a ^{2} = 9$, $b ^{2} = 16$이므로 $c ^{2} = a ^{2} + b ^{2} = 9 + 16 = 25$ $c > 0$이므로 $c = 5$이고, 두 초점의 좌표는 ${\mathrm{F}} \left( 0 , 5 \right)$, ${\mathrm{F}}' \left( 0 , - 5 \right)$ 따라서 두 초점 사이의 거리는 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{F}}}} = 10$ 삼각형 ${\mathrm{PF}}' {\mathrm{F}}$의 둘레의 길이가 $30$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{{\mathrm{PF}}'}} + {\overline{{\mathrm{F}}' {\mathrm{F}}}} = 30$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{{\mathrm{PF}}'}} + 10 = 30$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = 20$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 쌍곡선의 정의에 의하여 주축의 길이가 $\displaystyle 2 b = 2 \sqrt{16} = 8$이므로 $\displaystyle \left| {\overline{\mathrm{PF}}} - {\overline{{\mathrm{PF}}'}} \right| = 8$ 점 ${\mathrm{P}}$는 제$2$사분면에 있으므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} < {\overline{{\mathrm{PF}}'}}$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} - {\overline{\mathrm{PF}}} = 8$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = 6$, $\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = 14$ 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표를 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} ^{2} = x _{1} \mathit{^{2}} + \left( y _{1} - 5 \right) ^{2} = 36$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} ^{2} = x _{1} \mathit{^{2}} + \left( y _{1} + 5 \right) ^{2} = 196$ 두 식을 빼면 $\left( y _{1} + 5 \right) ^{2} - \left( y _{1} - 5 \right) ^{2} = 160$ $20 y _{1} = 160$, $y _{1} = 8$ $x _{1} \mathit{^{2}} + \left( 8 - 5 \right) ^{2} = 36$에서 $x _{1} \mathit{^{2}} + 9 = 36$, $x _{1} \mathit{^{2}} = 27$ 점 ${\mathrm{P}}$가 제$2$사분면 위의 점이므로 $\displaystyle x _{1} = - 3 \sqrt{3}$ 따라서 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( - 3 \sqrt{3} , 8 \right)$ 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = - 1$ 위의 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( - 3 \sqrt{3} , 8 \right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{- 3 \sqrt{3} x}{9} - \frac{8 y}{16} = - 1$, $\displaystyle y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + 2$ 이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$이다.