기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

쌍곡선 위 점과 벡터 크기

문제

쌍곡선 x22−y22\displaystyle \frac{x ^{2}}{2} - \frac{y ^{2}}{2}=1= 1의 꼭짓점 중 xx좌표가 양수인 점을 A\mathrm{A}라 하자. 이 쌍곡선 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∣OA⃗+OP⃗∣\left| {\vec{\mathrm{OA}}} + {\vec{\mathrm{OP}}} \right|=k= k를 만족시키는 점 P\mathrm{P}의 개수가 33일 때, 상수 kk의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [3점] ①11②2\displaystyle \sqrt{2}③22④22\displaystyle 2 \sqrt{2}⑤44

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④

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해설

[출제의도] 벡터의 연산을 활용하여 문제해결하기 쌍곡선의 꼭짓점 중 xx좌표가 음수인 점을 B\mathrm{B}라 하자. ∣OA⃗+OP⃗∣\left| {\vec{\mathrm{OA}}} + {\vec{\mathrm{OP}}} \right|=∣BO⃗+OP⃗∣= \left| {\vec{\mathrm{BO}}} + {\vec{\mathrm{OP}}} \right|=∣BP⃗∣= \left| {\vec{\mathrm{BP}}} \right| ∣BP⃗∣\left| {\vec{\mathrm{BP}}} \right|=k= k를 만족시키는 점 P\mathrm{P}는 점 B\mathrm{B}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 kk인 원과 쌍곡선이 만나는 점이다.

그림과 같이 점 P\mathrm{P}의 개수가 33이려면 kk=AB‾\displaystyle = \mathrm{\overline{AB}}=22\displaystyle = 2 \sqrt{2}

태그

#벡터의 크기#쌍곡선

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