기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

쌍곡선 내접원 중심

문제

그림과 같이 두 점 F\mathrm{F}, F′\mathrm{F}'을 초점으로 하는 쌍곡선 x29−y216=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1의 제11사분면 위의 점을 P\mathrm{P}라 하자. 삼각형 PF′F\mathrm{PF}' F에 내접하는 원의 반지름의 길이가 33일 때, 이 원의 중심을 Q\mathrm{Q}라 하자. 원점 O\mathrm{O}에 대하여 OQ‾2\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} ^{2}의 값을 구하시오. (단, 점 F\mathrm{F}의 xx좌표는 양수이다.) [4점]

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18

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해설

[출제의도] 쌍곡선의 성질을 활용하여 문제해결하기

주어진 쌍곡선의 두 초점 F′\mathrm{F}', F\mathrm{F}의 좌표는 F′(−5,0)\mathrm{F}' \left( \mathit{-} 5 , 0 \right), F(5,0)\mathrm{F} \left( \mathit{5} , 0 \right)이다. 그림과 같이 삼각형 PF′F\mathrm{PF}' F에 내접하는 원과 삼각형의 세 변의 접점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}라 하자. AF′‾=F′B‾=p\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} \mathit{=} \mathrm{\overline{F' B}} = \mathit{p}, BF‾=FC‾=q\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} \mathit{=} \mathrm{\overline{F C}} = \mathit{q}라 하면 PF′‾−PF‾=p−q=6\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} - {\overline{PF}} = \mathit{p} - q = 6 F′B‾+BF‾=p+q=10\displaystyle \mathrm{\overline{F' B}} + {\overline{BF}} = \mathit{p} + q = 10 p=8p = 8이므로 점 B\mathrm{B}의 좌표는 (3,0)\left( 3 , 0 \right)이다. 삼각형 PF′F\mathrm{PF}' F에 내접하는 원의 중심 Q\mathrm{Q}의 좌표는 (3,3)\left( 3 , 3 \right)이다. 따라서 OQ‾2=18\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} ^{2} = 18

태그

#쌍곡선#내접원

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