기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

쌍곡선 접선과 초점

문제

직선 y=3x+5y = 3 x + 5가 쌍곡선 x2a−y22=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a} - \frac{y ^{2}}{2} = 1에 접할 때, 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는? [3점] ①7\displaystyle \sqrt{7}②23\displaystyle 2 \sqrt{3}③44④25\displaystyle 2 \sqrt{5}⑤43\displaystyle 4 \sqrt{3}

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④

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해설

쌍곡선 x2a−y22=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a} - \frac{y ^{2}}{2} = 1에 접하고 기울기가 33인 직선의 방정식은 y=3x±a⋅32−2\displaystyle y = 3 x \pm \sqrt{a \cdot 3 ^{2} - 2} 이 때, 9a−2=5\displaystyle \sqrt{9 a - 2} = 5이어야 하므로 9a−2=259 a - 2 = 25 ∴ a=3a = 3 이 때 쌍곡선의 두 초점의 좌표는 (±5,0)\displaystyle ( \pm \sqrt{5} , 0 )이므로 구하는 두 초점 사이의 거리는 25\displaystyle 2 \sqrt{5}이다.

태그

#쌍곡선#접선의 방정식

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