쌍곡선 접선 x절편

[출제의도] 쌍곡선의 성질 이해하기

점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$이라 하면 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x _{1} x}{4} - \frac{y _{1} y}{k} = 1$ 이 접선이 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{4}{x _{1}}$ $\displaystyle \frac{4}{x _{1}} = \frac{4}{3}$이므로 $x _{1} = 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}} = {\overline{\mathrm{FF}'}}$이므로 $\displaystyle \sqrt{\left( 3 + c \right) ^{2} + y _{1} ^{2}} \mathit{=} 2 c$ $y _{1} ^{2} = 3 c ^{2} - 6 c - 9$ $\cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{P} \left( 3 , \mathit{y} _{1} \right)$이 쌍곡선 위의 점이고 $k = c ^{2} - 4$이므로 $\displaystyle \frac{9}{4} - \frac{y _{1} ^{2}}{c ^{2} - 4} = 1$ $\displaystyle y _{1} ^{2} = \frac{5}{4} \left( c ^{2} - 4 \right)$ $\cdots$ ㉡ 두 식 ㉠, ㉡을 연립하면 $\displaystyle 3 c ^{2} - 6 c - 9 = \frac{5}{4} \left( c ^{2} - 4 \right)$ $7 c ^{2} - 24 c - 16 = 0$, $\left( 7 c + 4 \right) \left( c - 4 \right) \mathit{=} 0$ $c > 0$이므로 $c = 4$ 따라서 $k = 12$