쌍곡선 접선 타원 이등분

[출제의도]쌍곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있는가? 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{12} - \frac{y ^{2}}{8} = 1$ 위의 점 $( a , b )$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{ax}{12} - \frac{by}{8} = 1$ 이고, 접선이 타원 $\displaystyle \frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} + y ^{2} = 1$의 넓이를 이등분하므로 접선은 타원의 중심 $( 2 , 0 )$을 지난다. 따라서, $\displaystyle \frac{2 a}{12} - 0 = 1$에서 $a = 6$ 또한, $\displaystyle \frac{a ^{2}}{12} - \frac{b ^{2}}{8} = 1$이므로 $\displaystyle \frac{36}{12} - \frac{b ^{2}}{8} = 1$에서 $\displaystyle \frac{b ^{2}}{8} = 2$, $b ^{2} = 16$ ∴ $a ^{2} + b ^{2} = 36 + 16 = 52$