쌍곡선 접선

점 $( 2 , b )$이 쌍곡선 $7 x ^{2} - ay ^{2} = 20$ 위의 점이므로 $4 \cdot 2 ^{2} - ab ^{2} = 20$ ∴ $ab ^{2} = 8$ ⋯⋯ ㉠ 쌍곡선 $7 x ^{2} - ay ^{2} = 20$ 위의 점 $( 2 , b )$에서의 접선의 방정식은 $7 ( 2 x ) - a ( by ) = 20$ 즉, $14 x - aby = 20$ 직선 $14 x - aby = 20$이 점 $( 0 , - 5 )$를 지나므로 $5 ab = 20$ ∴ $ab = 4$ ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a = 2$, $b = 2$ ∴ $a + b = 4$ [다른 풀이] 점 $( 2 , b )$이 쌍곡선 $7 x ^{2} - ay ^{2} = 20$ 위의 점이므로 $4 \cdot 2 ^{2} - ab ^{2} = 20$ ∴ $ab ^{2} = 8$ ⋯⋯ ㉠ $7 x ^{2} - ay ^{2} = 20$에서 음함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle 14 x - 2 ay \cdot \frac{dy}{dx} = 0$ ∴ $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{7 x}{ay}$ 점 $( 2 , b )$에서의 접선의 기울기는 두 점 $( 2 , b )$, $( 0 , - 5 )$를 지나는 직선의 기울기와 같으므로 $\displaystyle \frac{7 \cdot 2}{ab} = \frac{b + 5}{2}$ $28 = ab ^{2} + 5 ab = 8 + ab$(∵ ㉠) ∴ $ab = 4$ ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a = 2$, $b = 2$ ∴ $a + b = 4$