쌍곡선 정사각형 대각선

[출제의도] 쌍곡선의 정의를 이해할 수 있는가? $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \mathit{k}$라 하면 정사각형의 대각선의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} = \mathit{\sqrt{2}} k$ 한편, 주축의 길이가 $2$이므로 쌍곡선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} - \overline{AF} = 2 , \mathrm{\overline{AF'}} = \overline{AF} + 2$ 즉, $\displaystyle \sqrt{2} k = k + 2$이므로 $\displaystyle k = \frac{2}{\sqrt{2} - 1} = 2 \left( \sqrt{2} + 1 \right)$ 따라서 대각선의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} = \overline{AF} + 2$$\displaystyle = k + 2 = 2 \sqrt{2} + 2 + 2 = 4 + 2 \sqrt{2}$ [다른 풀이] 주어진 쌍곡선의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ($a , b$는 양의 상수)라 하자. 쌍곡선의 주축의 길이가 $2$이므로 $2 a = 2$에서 $a = 1$ 따라서 $\displaystyle c = \sqrt{1 + b ^{2}}$이고, $\displaystyle \mathrm{F} \left( \mathit{\sqrt{1 + b ^{2}}} , 0 \right) , \mathrm{F}' \left( \mathit{-} \sqrt{1 + b ^{2}} , 0 \right)$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{F F'}} = \mathit{2} \sqrt{1 + b ^{2}}$ 이때 사각형 $\mathrm{ABF}' F$는 정사각형이므로 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \sqrt{1 + b ^{2}} , 2 \sqrt{1 + b ^{2}} \right)$ 이때 정사각형 $\mathrm{ABF}' F$의 대각선의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} = \sqrt{2} \times \overline{FF'} = \mathit{2} \sqrt{2} \sqrt{1 + b ^{2}}$ $\cdots \text{㉠}$ 이고, 쌍곡선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} = \overline{AF} + 2 = \mathit{2} \sqrt{1 + b ^{2}} + 2$ $\cdots \text{㉡}$ 이므로 $\text{㉠} , \text{㉡}$에서 $\displaystyle 2 \sqrt{2} \sqrt{1 + b ^{2}} = 2 \sqrt{1 + b ^{2}} + 2$ $\displaystyle \left( \sqrt{2} - 1 \right) \sqrt{1 + b ^{2}} = 1$ 따라서 정사각형 $\mathrm{ABF}' F$의 대각선의 길이는 $\text{㉡}$에서 $\displaystyle 2 \left( \sqrt{2} + 1 \right) + 2 = 4 + 2 \sqrt{2}$