기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

쌍곡선 이등변삼각형

문제

두 초점이 F,F′\mathrm{F} , F'인 쌍곡선 x2−y23=1\displaystyle x ^{2} - \frac{y ^{2}}{3} = 1 위의 점 P\mathrm{P}가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 점 P\mathrm{P}는 제 11사분면에 있다. (나) 삼각형 PF′F\mathrm{PF}' F가 이등변삼각형이다.

삼각형 PF′F\mathrm{PF}' F의 넓이를 aa라 할 때, 모든 aa의 값의 곱은? [4점] ①377\displaystyle 3 \sqrt{77}②621\displaystyle 6 \sqrt{21}③910\displaystyle 9 \sqrt{10}④212\displaystyle 21 \sqrt{2}⑤3105\displaystyle 3 \sqrt{105}

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⑤

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해설

삼각형 PF′FPF' F 에서 ∣PF′−PF∣=2| PF' - PF | = 2이므로 FF′‾=PF′‾\displaystyle \overline{FF'} = \overline{PF'}인 경우와 F′F‾=PF‾\displaystyle \overline{F' F} = \overline{PF}인 두 개의 이등변삼각형이 생긴다.

i) FF′‾=PF′‾\displaystyle \overline{FF'} = \overline{PF'}인 경우

FF′‾=\displaystyle \overline{FF'} =PF′‾=4\displaystyle \overline{PF ^{'}} = 4 PF′‾−PF‾=2\displaystyle \overline{PF'} - \overline{PF} = 2 이므로 PF‾=2\displaystyle \overline{PF} = 2 F′F'에서 PF‾\displaystyle \overline{PF}에 내린 수선의 발을 HH이라 하면 F′H‾=42−12=15\displaystyle \overline{F' H} = \sqrt{4 ^{2} - 1 ^{2}} = \sqrt{15} 삼각형 PF′FPF ^{'} F의 넓이=12×PF‾×F′H‾=12×2×15=15\displaystyle = \frac{1}{2} \times \overline{PF} \times \overline{F' H} = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{15} = \sqrt{15} ii) F′F‾=PF‾\displaystyle \overline{F' F} = \overline{PF}인 경우

F′F‾=PF‾=4\displaystyle \overline{{F' F}} = \overline{PF} = 4 , PF′‾−PF‾=2\displaystyle \overline{PF'} - \overline{PF} = 2이므로 PF′‾=6\displaystyle \overline{PF'} = 6 FF에서 PF′‾\displaystyle \overline{PF'}에 내린 수선의 발을 H′H'이라 하면 FH′‾=42−32=7\displaystyle \overline{FH'} = \sqrt{4 ^{2} - 3 ^{2}} = \sqrt{7} 삼각형 PF′FPF' F의 넓이=12×6×7=37\displaystyle = \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{7} = 3 \sqrt{7} ∴\therefore넓이 aa의 곱은 15×37=3105\displaystyle \sqrt{15} \times 3 \sqrt{7} = 3 \sqrt{105}

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#쌍곡선#초점

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