미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

쌍곡선 회전체 부피

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22\displaystyle 2 \sqrt{2}인 정사각형 ABCD\mathrm{ABCD}내부의 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}는 ∣PA‾−PC‾∣=22\displaystyle \mathrm{\left| \overline{PA} - \overline{PC} \right|} = 2 \sqrt{2}, ∣QB‾−QD‾∣=22\displaystyle \mathrm{\left| \overline{QB} - \overline{QD} \right|} = 2 \sqrt{2}를 만족하며 움직인다. 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}가 나타내는 곡선과 정사각형으로 둘러싸인 어두운 부분을 직선 BD\mathrm{BD}를 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피가 a+b23π\displaystyle \frac{a + b \sqrt{2}}{3} \pi이다. 이때, a−ba - b의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 정수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 정적분을 활용하여 수학내적문제 해결하기 점 P,Q\mathrm{P} , Q는 각각 두 정점 A,C\mathrm{A} , C와 두 정점 B,D\mathrm{B} , D로부터 거리의 차가 일정한 점이므로 점 P,Q\mathrm{P} , Q가 나타내는 두 도형은 점 A,C\mathrm{A} , C와 점 B,D\mathrm{B} , D를 초점으로 하는 쌍곡선이다. 점 B,D\mathrm{B} , D를 지나는 직선을 xx축, 점 A,C\mathrm{A} , C를 지나는 직선을 yy축이라 하자.

점 P\mathrm{P}가 나타내는 도형의 방정식은 x2−y2=−2x ^{2} - y ^{2} = - 2 점 Q\mathrm{Q}가 나타내는 도형의 방정식은 x2−y2=2x ^{2} - y ^{2} = 2 회전체의 부피는 2π{∫012(x2+2)dx+∫1232(2−x)2dx\displaystyle 2 \pi \left\{ \begin{aligned} \int _{0} ^{\frac{1}{2}} {\left( x ^{2} + 2 \right) dx + \int _{\frac{1}{2}} ^{\frac{3}{2}} {\left( 2 - x \right) ^{2}}} dx \end{aligned} \right. −∫232(x2−2)dx}\displaystyle - \int _{\sqrt{2}} ^{\frac{3}{2}} {\left( x ^{2} - 2 \right) dx} \} =24−823π\displaystyle = \frac{24 - 8 \sqrt{2}}{3} \pi ∴a=24,b=−8\therefore a = 24 , b = - 8 따라서 a−b=32a - b = 32

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