기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

쌍곡선 초점 조건

문제

좌표평면에서 x,yx , y에 대한 방정식 x21+k+y21−k=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{1 + k} + \frac{y ^{2}}{1 - k} = 1 이 나타내는 곡선이 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 kk의 값은? [3점] (가) 두 초점이 yy축 위에 있는 쌍곡선이다. (나) 두 초점 사이의 거리는 23\displaystyle 2 \sqrt{3}이다.

①−52\displaystyle - \frac{5}{2}②−32\displaystyle - \frac{3}{2}③−12\displaystyle - \frac{1}{2}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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②

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해설

[출제의도] 이해능력-평면곡선 (가)에서 1+k=−a2,1−k=b21 + k = - a ^{2} , 1 - k = b ^{2}으로 놓으면 x2−a2+y2b2=1,x2a2−y2b2=−1\displaystyle \frac{x ^{2}}{- a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 , \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = - 1 이 되어 두 초점이 yy축 위에 있는 쌍곡선이다. 따라서 k+1<0k + 1 < 0, 1−k>01 - k > 0이므로 k<−1k < - 1 (나)에서 쌍곡선의 두 초점의 좌표를 (0,c),(0,−c)(c>0)( 0 , c ) , ( 0 , - c ) ( c > 0 )라 하면 2c=23\displaystyle 2 c = 2 \sqrt{3}이므로 c2=a2+b2=−1−k+1−k=3c ^{2} = a ^{2} + b ^{2} = - 1 - k + 1 - k = 3 −2k=3- 2 k = 3 따라서 k=−32\displaystyle k = - \frac{3}{2}

태그

#쌍곡선#초점

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