쌍곡선 초점 현

쌍곡선이 $x$축에 대하여 대칭이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \sqrt{2} \mathit{c}$이므로 점 $\mathrm{A}$의 $y$좌표는 $\displaystyle \frac{\sqrt{2} c}{2} = \frac{c}{\sqrt{2}}$이다. 그런데 $\displaystyle c = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}$이므로 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} , \frac{\sqrt{a ^{2} + b ^{2}}}{2} \right)$ ⋯⋯ ㉠ 이다. ㉠을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$에 대입하면 $\displaystyle \frac{a ^{2} + b ^{2}}{a ^{2}} - \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2 b ^{2}} = 1$ 양변에 $2 a ^{2} b ^{2}$을 곱하여 정리하면 $2 b ^{4} - a ^{2} b ^{2} - a ^{4} = 0$ $( 2 b ^{2} + a ^{2} ) ( b ^{2} - a ^{2} ) = 0$ ∴ $a ^{2} = b ^{2}$ (∵ $a$, $b$는 실수) ∴ $a = b$ (∵ $a > 0$, $b > 0$)