공통수학2명제수능 기출기본 문제 (3점 중반)

소수 조건 증명

문제

다음은 두 자연수 $a$ 와 $b ( a > b )$ 에 대하여 $P = a ^{3} - b ^{3}$ 이 소수이면 $P - 1$ 은 $6$ 의 배수 임을 증명한 것이다.

<증명> $P = a ^{3} - b ^{3} = ( a - b ) ( a ^{2} + ab + b ^{2} )$ 이 소수이므로 $a =$ $\square {( \text{가} )}$ 이다. $P$ 에 $a =$ $\square {( \text{가} )}$ 를 대입하여 정리하면 $P - 1 = 3 b ( b + 1 )$ 이다. 여기서 $b ( b + 1 )$ 은 $\square {( \text{나} )}$ 의 배수이다. 따라서, $P - 1$ 은 $6$ 의 배수이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [2점] (가) (나) ① $b$ $2$ ② $b + 1$ $2$ ③ $b + 1$ $6$ ④ $b - 1$ $2$ ⑤ $b - 1$ $6$

정답 보기

②

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

소수는 1과 자기 자신을 약수로 가지므로 $a - b = 1 ( \because a ^{2} + ab + b ^{2} > 1 )$ ∴ $a =$ $\square {b + 1}$ $P$ 에 $a =$ $\square {b + 1}$ 을 대입하여 정리하면 $P = ( b + 1 ) ^{2} + ( b + 1 ) \cdot b + b ^{2} = 3 b ^{2} + 3 b + 1$ $P - 1 = 3 b ( b + 1 )$ 여기서 연속하는 두 자연수 b, b+1의 곱은 $\square {2}$ 의 배수이다. 따라서, $P - 1$ 은 6의 배수이다.

← 전체 문제 목록으로

소수 조건 증명

문제

자료 내려받기

해설

태그

비슷한 문제 더 보기