소수 함수 보기

[출제의도] 함수의 정의를 이용하여 명제 증명하기 ㄱ. $10 + m - 1 = 9 + m$이 소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $m$은 $2$이므로 $f \left( 10 \right) = 2$이다. (참) ㄴ. $f \left( n \right) = 5$이면 $n + 5 - 1 = n + 4$는 소수이므로 $n + 4 + m - 1 = n + 3 + m$이 소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $m$은 $1$이므로 $f \left( n + 4 \right) = 1$이다. (참) ㄷ. $f ( n ) = 1$이므로 $f ( n )$의 정의에 의해 $n$은 소수이다. $\left( n - 3 \right) + m - 1 = n - 4 + m$은 $m = 4$이면 소수이므로 $f \left( n - 3 \right) \leq 4$이다. $4$보다 작은 자연수는 $f \left( n - 3 \right)$이 될 수 없음을 귀류법을 이용하여 보이자. (ⅰ) $m = 1$이면 $n - 3$은 소수이다. $n$은 $5$ 이상의 소수이므로 홀수이고, $n - 3$은 짝수이다. 이를 만족하는 경우는 $n = 5$이고 $f \left( 4 \right) = 2 > 1 = f \left( 3 \right)$이 되어 주어진 조건에 모순이다. (ⅱ) $m = 2$이면 $f ( n - 2 ) = 1$이므로 $f \left( n - 1 \right) < f \left( n - 2 \right) = 1$이 되어 모순이다. (ⅲ) $m = 3$이면 $f ( n - 1 ) = 1$이므로 $n - 1$과 $n$이 모두 소수가 되어야 한다. 연속한 두 소수는 $2$, $3$뿐이므로 주어진 조건에 모순이다. 그러므로 $\left( n - 3 \right) + m - 1$을 소수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $m$은 $4$이므로 $f ( n - 3 ) = 4$이다.(참)